matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Un subspat¸iu W ,cudim W = n − 1. a unui spat¸iu vectorial V ,cudim V = n, senume¸ste
hiperplan vectorial. Altfel spus, un subspat¸iu vectorial W este un hiperplan vectorial dacă eleste
suplimentar unei drepte vectoriale.
Definit¸ia 2.3.7 Se nume¸ste rangul unui sistem S de vectori din spat¸iu vectorial V , dimensiunea
spat¸iului vectorial generat de S. Notăm rangul lui S prin rang S.
Propozit¸ia 2.3.2 Rangul unui sistem de vectori din spat¸iul vectorial V nu se modifică dacă:
i) se schimbă ordinea vectorilor;
ii) se înmult¸e¸ste un vector al sistemului cu un scalar nenul;
iii) se adună la un vector al sistemului un alt vector din sistem, înmult¸it cu un scalar.
Pentru demonstrat¸ie se observă că sistemele de vectori obt¸inute prin transformările i)–iii) din
propozit¸ie generează acela¸si subspat¸iu vectorial ¸si deci are acela¸si rang. Transformările i), ii), iii) se
numesc transformări elementare.
Teorema 2.3.4 Rangul unui sistem finit de vectori este egal cu numărul maxim de vectori liniar
independent¸i ai sistemului.
Demonstrat¸ie. Fie S = {x (1) ,x (2) ,...,x (m) } un sistem de vectori în spat¸iul vectorial V ¸si k ≤ m
numărul maxim de vectori liniar independent¸i ai lui. Pentru comoditatea scrierii considerăm că vectorii
x (1) ,x (2) ,...,x (k) sunt liniar independent¸i, ceea ce implică că ceilalt¸i vectori ai sistemului se vor exprima
ca ¸si combinat¸ii liniare de ace¸stia, adică
x (k+i) = ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ,i=1, 2,...,m− k
Acum, adunăm în sistemul S la fiecare din vectorii x (k+i) , i =1, 2,...,m− k, respectiv vectorul
ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ¸si obt¸inem sistemul S1 = {x (1) ,x (2) ,...,x (k) ,θ,θ,...,θ}. După Propozit¸ia
2.3.2 sistemul S1 are acela¸si rang cu sistemul S.
Dar în sistemul S1 sistemul de vectori {x (1) ,...,x (k) } este o bază, ceea ce ne arată că dimensiunea
lui este k. Prin urmare, rangul lui S1 ¸si deci ¸si al lui S este k.
Definit¸ia 2.3.8 Două spat¸ii vectoriale V ¸si W peste acela¸si câmp K se numesc izomorfe dacă există
o aplicat¸ie f : V → W care să fie izomorfism fat¸ă de operat¸iilecedefinescpeV ¸si W structura de spat¸iu
vectorial.
Teorema 2.3.5 Printr-un izomorfism de două spat¸ii vectoriale se păstrează rangul unui sistem finit de
vectori
Demonstrat¸ie. Fie f : V → W un izomorfism între spat¸iile vectoriale V ¸si W ¸si S =
{x (1) ,x (2) ,...,x (m) } un sistem de vectori de rang k, k ≤ m, din spat¸iul vectorial V . Prin f se obt¸ine
sistemul de vectori S1 = {y (1) ,y (2) ,...,y (m) }, unde y (i) = f(x (i) ), i = 1,m,dinW . Pentru comoditatea
scrierii considerăm că vectorii x (1) ,x (2) ,...,x (k) sunt liniar independent¸i. Atunci din relat¸ia
a1y (1) +a2y (2) +...+aky (k) = θ, a1,a2,...,ak ∈ K, rezultă a1f(x (1) )+a2f(x (2) )+...+akf(x (k) )=θ, iar
de aici f(a1x (1) +a2x (2) +...+akx (k) )=θ. Cumf este injectivă deducem că a1x (1) +a2x (2) +...+akx (k) =
θ ¸si de aici a1 = a2 = ...= ak = 0, ceea ce ne arată că vectorii y (1) ,y (2) ,...,y (k) sunt liniar independent¸i.
Acum considerând relat¸iile
¸si aplicând funct¸ia f, obt¸inem
x (k+i) = ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ,i=1, 2,...,m− r
y (k+i) = ai1y (1) + ai2y (2) + ...+ aiky (k) ,i=1, 2,...,m− r.
Prin urmare, sistemul de vectori y (1) ,...,y (k) este un sistem de generatori pentru S1 ¸si deci
rang S1 = rang S.
20