matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Teorema 11.2.1 (Teorema lui Fermat). Fie I un interval al lui R ¸si fie funct¸ia f : I → R.
Dacă x0 este un punct de extrem local interior al intervalului I ¸si f este derivabilă în x0,
atunci f ′ (x0) =0.
Demonstrat¸ie. Să presupunem că x0 este un punct de maxim local pentru f, adicăexistă
ovecinătate V (x0) a punctului x0 astfel ca f(x) ≤ f(x0), pentruoricex ∈ V (x0) ∩ I. Atunci,
pentru x ∈ V (x0) ∩ I cu xx0 avem
(11.6)
f(x) − f(x0)
x − x0
Cum f este derivabilă în punctul interior x0 ∈ I, deducem că există f ′ s(x0), f ′ d (x0) ¸si
f ′ (x0) =f ′ s(x0) =f ′ d (x0) ∈ R. T¸inând seama de aceasta ¸si trecând la limită în (11.5) ¸si (11.6),
obt¸inem, pe de o parte că f ′ (x0) =f ′ s(x0) ≤ 0, iar,pedealtă parte, că f ′ (x0) =f ′ d (x0) ≥ 0. De
aici, rezultă că f ′ (x0) =0, ceea ce trebuia demonstrat.
Observat¸ia 11.2.1 Teorema lui Fermat dă numai o condit¸ie necesară dar nu ¸si suficientă
pentru existent¸a punctelor de extrem. Se poate întâmpla ca într-un punct derivata să se
anuleze fără ca punctul respectiv să fie punct de extrem local. Rădăcinile derivatei unei
funct¸ii se numesc puncte critice sau puncte stat¸ionare pentru funct¸ia respectivă.
Observat¸ia 11.2.2 Geometric, teorema lui Fermat afirmă că graficul unei funct¸ii derivabile
are tangentă paralelă cuaxaOx în punctele de extrem interioare intervalului de definit¸ie a
funct¸iei.
Teorema 11.2.2 (Teorema lui Rolle). Fie funct¸ia f :[a, b] → R, undea, b ∈ R ¸si a