matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

x 2 2 +4x1x3 +4x 2 3.
Utilizând metoda lui Gauss avem
g(x) = 1
2 (4x2 1 +2x1x2 +8x1x3)+x 2 2 +4x 2 3 = 1
2
2x1 + x2
2 +2x3
2 +
+ 15
16 x22 +3x 2 3 − 1
2 x2x3 = 1
2x1 +
2
x2
2 +2x3
2 +
+ 16
152 x
15 16
2 2 − 8
15 x2x3
+3x 3 = 1
2x1 +
2
x2
2 +2x3
2 + 16
16
15 16 x2 − 1
4 x3
2 + 44
15 x23. Punând
y1 =2x1 + x2
2 +2x3, y2 = 15
16 x2 − x3
4 , y3 (4.17)
= x3
obt¸inem forma canonică pentru g:
g(x) = 1
2 y2 1 + 16
15 y2 2 + 44
15 y2 (4.18)
3.
Din (4.17) avem:
x1 = 1
2 y1 − 4
15 y2 − 16
15 y3
x2 =
16
15 y2 + 4
15 y3
x3 = y3
sau matriceal x = Cy, unde x = t (x1,x2,x3), y = t (y1,y2,y3), x, y ∈ R3 ¸si
⎛
C = ⎝
1
2
0
0
4 − 15
16
15
0
16 − 15
4
15
1
⎞
⎠
Cum C este nesingulară ¸si are rangul 3 deducem că formapătratică este nedegenerată,
iar vectorii coloană dinC, f (1)
1
= , 0, 0 , f
2 (2)
= − 4
10
, , 0 , f
15 15 (3)
= − 16
4
, , 1 constituie
15 15
noua bază fat¸ăde care g are forma canonică (4.18).
Exemplul 4.3.2. Să aducem la forma canonică formapătratică g : R4 → R, g(x) =x1x2 +
x1x3 − 2x2x3 + x3x4.
Deoarece nu avem termeni în x2 1, i =1, 2, 3, 4, facem schimbare de variabile
(4.19)
x1 = y1 − y2, x2 = y1 + y2, x3 = y3, x4 = y4
¸si obt¸inem
g(x) =y 2 1 − y 2 (4.20)
2 − y1y3 − 3y2y3 + y3y4.
Acum aplicând metoda lui Gauss avem succesiv,
=
g(x) =
=
y1 − y3
2 − y
2
2 2 − 1
4 y2 3 − 3y2y3 + y3y4 =
y1 − y3
2 2
y1 − y3
2 −
2
− y2 + 3
2 y3
y2 + 3
2 y3
2
64
2
+ 1
2
+2y 2 3 + y3y4 =
2y3 + 1
2 y4
2 − 1
8 y2 4.
+