matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

Demonstrat¸ie. Vom proceda prin reducere la absurd.
Să presupunem că A este compactă darpentruoriceε>0 există unxε∈ A a¸sa încât
pentru orice i ∈ I, S(xε,ε) ⊂ Di. În particular, pentru ε =1/n există xn ∈ A astfel încât
pentru orice i ∈ I are loc
S xn, 1
(10.1)
⊂ Di.
n
Deoarece A este compactă, ¸sirul (xn) cont¸ine un sub ¸sir (xnk ) convergent la un punct
x ∈ A. Cum D constituie o acoperire pentru A, existăomult¸ime Di0 ∈Da¸sa încât x ∈ Di0 .
Mult¸imea Di0 fiind deschisă existăosferădeschisăS(x, r) a¸sa ca
(10.2)
S(x, r) ⊂ Dio
Din lim
k→∞ xnk = x ∈ A rezultă căexistăunnumăr natural k0 depinzând de r/2 a¸sa ca
pentru orice k ≥ k0 să avemxnk∈S x, r
,adică
2
r
d (xnk ,x) <
2 .
(10.3)
(10.4)
Cum lim
k→∞
1
nk
=0,existăunk1(r) ∈ N a¸sa încât pentru orice k>k1 să rezulte
1
nk
< r
2 .
Fie k2 = max{k0,k1}. Pentru orice k>k0, din relat¸iile (10.2), (10.3) ¸si (10.4) obt¸inem
1
S xnk , ⊂ S(x, r) ⊂ Di0
nk
,
incluziune ce contrazice (10.1). Cu aceasta teorema este demonstrată.
Propozit¸ia 10.1.6 Dacă A este o mult¸ime în spat¸iul metric (X, d), atunci pentru orice ε>0
există o familie finită de sfere deschise cu raza ε care constituie o acoperire deschisă a
mult¸imii A.
Demonstrat¸ie. Vom rat¸iona tot prin reducere la absurd. Presupunem că A este o mult¸ime
compactă in(X, d) a¸sa încât există unε>0 pentru care nu există o acoperire finită cusfere
deschise de rază ε.
Fie x1 ∈ A; atunci sfera S(x1,ε) ⊃ A. Alegem x2 ∈ A a¸sa încât x2 ∈ S(x1,ε).
Acum considerăm sferele S(x1,ε) ¸si S(x2,ε), pentru care A ⊂ S(x1,ε) ∪ S(x2,ε). Prin
urmare, există x3 ∈ A a¸sa ca x3 ∈ A ¸si x3 ∈ S(x1,ε), x3 ∈ S(x2,ε).
Din aproape în aproape, construim ¸sirul (xn) de puncte din A a¸sa încât
xn ∈ A, xn ∈ S(xi,ε), i = 1,n− 1.
De aici rezultă căavemd(xn,xi) ≥ ε, i = 1,n− 1, pentruoricen ∈ N ∗ . Prin urmare,
¸sirul (xn) astfel construit cere proprietatea că xn ∈ A pentru orice n ∈ N ∗ ,dar
(10.5)
d(xn,xm) ≥ ε, pentru orice n, m ∈ N ∗ ,
cu n = m.
Acum, se observă că¸sirul (xn) nu poate cont¸ine nici un sub¸sir convergent, întrucât,
dacă arexistaunasemeneasub¸sir acesta ar trebui să fie¸sir Cauchy, ceea ce ar contrazice
(10.5) .
A¸sadar, ¸sirul (xn) nu poate cont¸ine nici un sub¸sir convergent, ceea ce contrazice faptul
că A este o mult¸ime compactă. În concluzie enunt¸ul teoremei este adevărat.
197