Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

95 Elementos de cálculo, volumen 2
Derivadas parciales de orden superior
La segunda derivada parcial (y en general todas las de orden superior)
también se pueden calcular.
∂ f(x, y, z)
Si = 2x, se repite el procedimiento para esta expresión
∂ x
∂ ∂ f(x, y, z)
=
∂ x ∂ x
∂ (2x)
= 2
∂ x
y se denota por ∂ 2 f
∂ x 2 (el 2 indica que se trata de la segunda derivada
parcial) o por D 2 xf.
Ahora bien, si se empieza con
∂ f
∂ x
luego se puede seguir calculando la derivada parcial de
a y. Esto se escribe
∂ 2 f
∂ y ∂x o D2 xyf o D 2 12f.
Ejemplo 40. Cálculo de derivadas parciales
Dada f(x, y) = e x sen y calcular
Solución:
→
∂ f(x, y)
∂ x
∂ f
∂ x ,
∂ 2 f
∂ y ∂x ,
= ∂ (ex sen y)
∂ x
∂ f
∂ y ,
∂ 2 f
∂ x ∂y ,
∂ 2f ,
∂ x2 (manteniendo y y z constantes),
∂ 2f ,
∂ y2 ∂ 3 f
∂ x ∂y ∂x
∂ f
∂ x
con relación
= e x sen y (y constante y d(ex )
dx = ex ).
∂ f(x, y)
→ =
∂ y
∂ (ex sen y)
= e
∂ x
x d(sen y)
cos y (x constante y dy
→ ∂ 2f(x, y)
∂ x2 = ∂
∂ f(x, y)
=
∂ x ∂ x
∂ (ex sen y)
= e
∂ x
x sen y
→ ∂ 2f(x, y)
∂ y2 = ∂
∂ f(x, y)
=
∂ y ∂ y
∂ (ex cos y)
= −e
∂ y
x sen y
→ ∂ 2
f(x, y) ∂ ∂ f(x, y)
= =
∂ y ∂x ∂ y ∂ x
∂ (ex sen y)
= e
∂ y
x cos y
→ ∂ 2
f(x, y) ∂ ∂ f(x, y)
= =
∂ x ∂y ∂ x ∂ y
∂ (ex cos y)
= e
∂ x
x cos y
= cos y).