Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

74 Elementos de cálculo, volumen 2
9. Suponga que el pulso de una persona (latidos/minuto)
a los t segundos de haber iniciado
una carrera es P (t) = 56 + 2t 2 − t. Calcule la
velocidad a la que cambia P con respecto a t
cuando t = 2 y cuando t = 6.
10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba
del suelo con una velocidad inicial de 40 metros
por segundo. Su altura a los t segundos es
s(t) = 40t − 4, 9t 2 metros.
(a) ¿En qué tiempo alcanza la máxima altura
y cuál es ésta?
(b) ¿En qué momento toca el suelo y con qué
velocidad lo hace?
11. Un insecto camina sobre una línea recta de
manera que su distancia desde el origen a los
t segundos de iniciado el movimiento es s(t) =
t 3 − 6t 2 + 9t centímetros.
(a) ¿En qué momentos se está moviendo hacia
la izquierda?
(b) ¿Cuándo es positiva su aceleración?
(c) ¿Qué significa que la aceleración es negativa?
12. Cierta población de insectos crece en un recipiente.
A las t semanas el número de insectos
en el recipiente es N(t) = 12t 2 − t 4 + 5.
(a) ¿Cuándo deja de crecer la población?
(b) ¿En qué intervalos de tiempo es positiva y
en qué intervalos es negativa la tasa de crecimiento
de la población?
En los ejercicios 13 a 16 determine el máximo
y mínimo absolutos de la función dada en el
intervalo indicado.
13. f(x) = −x 2 + 8x + 3 en [0, 6]
14. f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 12x en [−3, 3]
15. g(t) = t3 − 3t + 1 en [− 3
2 , 3]
16. h(x) = x
en [−1, 4]
1 + x2 17. Dibuje la gráfica de una función continua
que satisfaga simultáneamente las siguientes
condiciones: el dominio de f es [−2, 5],
f(−2) = 5, f(2) = 2, f(5) = 0, f ′ (x) < 0
cuando x ∈ ]−2, 0[∪]2, 5[, f ′ (x) > 0 si x ∈]0, 2[,
f ′ (2) = 0, f ′ (0) no existe.
En los ejercicios 18 a 22 determine dínde es
creciente y dónde decreciente la función dada,
así como sus máximos y mínimos relativos. En
cada caso haga un bosquejo de la gráfica de la
función.
18. f(x) = x 2 − 6x + 3
19. g(t) = 2t 3 + 9t 2 − 13
20. g(x) = 3x 5 − 25x 3 + 60x + 1
21. f(t) =
2 − t
t 2
22. f(x) = sen x + cos x para x ∈ [0, 2π]
23. Dibuje la gráfica de una función continua
que satisfaga simultáneamente las siguientes
condiciones: el dominio de f es R, f(0) = 0,
f(3) = 4, f ′ (x) = −1 para todo x < 0, f ′ (0) no
existe, f ′ (x) > 0 para todo x ∈]0, 3[, f ′ (3) = 0
y f ′ (x) < 0 para todo x en ]3, +∞[.
En los ejercicios 24 a 28 utilice la Regla de
L’Hípital para calcular el límite dado.
2x
24. lim
x→2
2 − 3x − 2
3x2 − 8x + 4
cos x − e
25. lim
x→0
x
x
x + 1 − e
26. lim
x→0
x
x2 x ln x
27. lim
x→+∞ x + ln x
x
28. lim
x→+∞
3
ex