Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

88 Elementos de cálculo, volumen 2
Ejemplo 36. Verificando una solución
Verificar que la función f(x) = e 2x es solución de la ecuación diferencial
y ′′ − 3y ′ + 2y = 0.
Probar también que g(x) = e 3x no es solución de esta ecuación diferencial.
Solución: Tomamos en el lugar de y la función f(x). Tenemos que
y
y por lo tanto:
f ′ (x) = 2e 2x
f ′′ (x) = 4e 2x
y ′′ − 3y ′ + 2y = 4e 2x − 3(2e 2x ) + 2(e 2x ) = 4e 2x − 6e 2x + 2e 2x = 0,
tal como se quería.
Tomando ahora en vez de y la función g(x) tenemos que
y sustituyendo:
g ′ (x) = 3e 3x ,
g ′′ (x) = 9e 3x
y ′′ − 3y ′ + 2y = 9e 3x − 3(3e 3x ) + 2(e 3x ) = 9e 3x − 9e 3x + 2e 3x = 2e 3x .
El resultado no es 0, por lo tanto g no es solución de la ecuación diferencial.
△
⋆ Actividad: Pruebe que h(x) = e x sí es solución de la ecuación
diferencial del ejemplo anterior.
Como usted vio, probar que una función dada es solución de una
ecuación diferencial es un proceso relativamente sencillo, sin embargo,
encontrar las soluciones (esto es, resolver la ecuación) no es en general
un problema tan fácil. Desde luego, no es nuestro propósito resolver
aquí estas ecuaciones. Cabe advertir que existen muchísimas familias
de ecuaciones diferenciales, que se resuelven por métodos particulares.
Por otra parte, el uso del cálculo integral en la resolución de ecuaciones
diferenciales es fundamental.