Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

89 Elementos de cálculo, volumen 2
Poblaciones
Volvamos a nuestro modelo de poblaciones; veamos la ecuación
que plantea dicho modelo.
Sea N(t) la población en el instante t (puede ser que t sea segundos,
horas, días, años, etc., dependiendo de la población de que se trate).
Entonces, la razón instantánea de cambio es N ′ (t). El modelo dice que
esta razón de cambio es proporcional a la población
N ′ (t) ∝ N(t)
Dos cantidades son proporcionales si su cociente es una constante,
digamos k. De manera que en este caso particular tenemos
N ′ (t)
N(t)
que es la ecuación diferencial que describe el modelo. Esta es una
ecuación diferencial muy sencilla y podemos encontrar su solución de
un modo relativamente fácil.
En efecto, si integramos a ambos lados de la ecuación obtenemos
N ′
(t)
dt = k dt =⇒
N(t)
= k
ln N(t) = k t + M
(recuerde que (ln N(t)) ′ = N ′ (t)
N(t) , M constante arbitraria). Si aplicamos
la exponencial a ambos lados tenemos
N(t) = e kt+M ,
que, por las propiedades de la exponencial, se puede escribir como Figura 9.8. Crecimiento exponencial
N(t) = Ce kt
(donde C = e M ). Se puede comprobar que C es la población inicial.
Por la forma de la solución este modelo se llama de crecimiento
exponencial.
⋆ Actividad: Pruebe que efectivamente la constante C representa la
población inicial.