Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

43 Elementos de cálculo, volumen 2
De modo parecido tenemos
(cosh x) ′
ex + e−x =
2
′
= (ex ) ′ + (e −x ) ′
2
= ex + e −x (−1)
2
= ex − e −x
2
= senh x.
De modo que (cosh x) ′ = senh x △
⋆ Actividad: La demás funciones hiperbólicas se definen de manera
análoga a las funciones trigonométricas, así:
tanh x =
senh x
cosh x
, coth x =
cosh x senh x ,
sech x = 1
,
cosh x
1
csch x =
senh x .
Calcule la derivada de cada una de estas funciones. Las funciones
Sobre el concepto de función
hiperbólicas se parecen
a las
trigonométricas
A lo largo de este libro hemos usado constantemente el concepto de
función como algo muy natural. Debe señalarse, sin embargo, que
también tuvo su historia y, efectivamente, como parte de la nueva matemática
y el Cálculo en particular.
La noción de función y las funciones algebraicas y trascendentales
fueron introducidas y usadas en el siglo XVII. Leibniz, James, Jean
Bernoulli, L’Hípital, Huygens y otros usaron diferentes tipos de funciones
en los asuntos que trataron (muchos de aplicación física). Pero
fue el suizo Jean Bernoulli quien primeramente formuló el concepto de
función. Euler en su famoso libro Introductio de 1748 ofreció una serie
de distinciones alrededor de las funciones que prácticamente han
sobrevivido hasta ahora. El decía que una función es una expresión
analítica formulada de cualquier manera a partir de una cantidad variable
y constantes. Euler incluía los polinomios, las series de potencias
y las expresiones logarítmicas y trigonométricas.
Una función era algebraica si las operaciones realizadas con la variable
independiente eran solamente algebraicas. Las funciones algebraicas
se dividen en racionales e irracionales. Las racionales cuando se usan
las 4 operaciones usuales. Irracionales cuando se usa también la extracción
de raíces. Las funciones que no son algebraicas son las trascendentes
como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, funciones