Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

110 Elementos de cálculo, volumen 2
Teorema 10.3. Valor intermedio
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y si r es un valor entre f(a) y f(b) entonces existe c en el
intervalo ]a, b[ tal que f(c) = r.
✻
Observando la figura 10.5 nos podemos convencer de la veracidad del
teorema (aunque de ningún modo esto constituye una demostración).
Este teorema también es conocido con el nombre de Propiedad de Darboux.
Es muy utilizado para verificar la existencia de soluciones de ✲
y
f(b)
r
ecuaciones en un intervalo determinado.
f(a)
a c b
Ejemplo 46. Verificando la existencia de una raíz
Considere la ecuación
x 5 + x − 1 = 0.
Aunque no podemos resolver esta ecuación sí podríamos determinar una
aproximación tan cerca como quisiéramos de alguna solución. En efecto,
la función
f(x) = x 5 + x − 1
es continua en R, en particular es continua en [0, 1]. Además,
como 0 está entre −1 y 1, entonces
f(0) = −1 y f(1) = 1;
existe c ∈ ]0, 1[ tal que f(c) = 0.
En otras palabras, existe una solución de la ecuación en el intervalo
]0, 1[.
Si consideramos la misma función en el intervalo [0, 7, 0, 8], tenemos
que
f(0, 7) = −0, 13193 y f(0, 8) = 0, 12768
(use una calculadora para verificar estos resultados); como
entonces
−0, 13193 < 0 < 0, 12768
existe c ∈ ]0, 7, 0, 8[ tal que f(c) = 0.
Esto significa que la ecuación tiene una solución en ese intervalo.
Por lo tanto 0, 7 es una solución aproximada de la ecuación.
Podríamos tomar un intervalo aún más pequeño (contenido en el
anterior) y obtendríamos una mejor aproximación (y así hasta donde
usted quiera). △
Figura 10.5. Valor intermedio
Figura 10.6. f(x)=x 5 +x−1
x