Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

68 Elementos de cálculo, volumen 2
Ejemplo 30. Aplicando dos veces la regla de L’Hípital
Calcular
Solución: Tomamos
entonces
e
lim
x→0
x + e−x − 2
1 − cos 2x .
f(x) = e x + e −x − 2 y g(x) = 1 − cos 2x,
f(0) = e 0 + e −0 − 2 = 1 + 1 − 2 = 0
g(0) = 1 − cos 2 · 0 = 1 − 1 = 0
y se puede aplicar la regla de L’Hípital:
e
lim
x→0
x + e−x − 2
= lim
1 − cos 2x x→0
(ex + e−x − 2) ′ e
= lim
(1 − cos 2x) ′ x→0
x − e−x 2 sen 2x ,
observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es
de la forma 0
0 . Volvemos a aplicar la regla de L’Hípital (derivando el
numerador y derivando el denominador):
e
lim
x→0
x − e−x 2 sen 2x
Concluimos que
= lim
x→0
(ex − e−x ) ′ e
= lim
(2 sen 2x) ′ x→0
x + e−x 4 cos 2x
e
lim
x→0
x + e−x − 2 1
=
1 − cos 2x 2 .
Esta regla también puede aplicarse a las formas 0
0
c + o x → c− o x → ∞ o x → −∞.
2 1
= =
4 2
o ∞
∞
△
cuando x →
Ejemplo 31. Uso de la regla de L’Hípital cuando x → ∞
Calcular
lim
x→∞
ln x
.
x2