Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

78 Elementos de cálculo, volumen 2
El símbolo n! se lee n factorial y significa lo siguiente:
0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6,
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, . . . , n! = 1 · 2 · 3 · · · n
(se multiplican todos los números enteros desde 1 hasta n)
Las series infinitas fueron en el siglo XVII y son en nuestros días de
una gran importancia. Newton, por ejemplo, las consideraba inseparables
de su “método de fluxiones”. Eso es así en parte porque muchas
funciones se pueden expresar por medio de series y, entonces, derivar (o
integrar) una función es equivalente a derivar (o integrar) cada término
de la serie, y eso era muchas veces más conveniente.
Una nota histórica: sumas infinitas
Las sumas infinitas fueron consideradas por Aristóteles en la Gre- La paradoja de la Di-
cia antigua, por Nicole Oresme en el medievo y por Francois Viíte más
recientemente (1593). En la mitad del siglo XVII Gregory de Saint Vincent
(Opus Geometricum, 1647) mostró que la paradoja de la Dicotomía
de Zenón (que hemos mencionado aquí) podía resolverse sumando una
serie infinita (geométrica). Fue el primero en establecer que una serie
representa una magnitud.
Newton obtuvo la expresión en serie de muchas funciones, entre ellas:
sen x, cos x, sen −1 x y e x . Uno de los objetivos de las series fue
también el de computar mejores aproximaciones de números como π y
e. Por ejemplo, Leibniz en 1674 obtuvo un resultado muy famoso
π
4
=
1 1 1
1 − + − + · · · ,
3 5 7
lo que escribimos
=
∞
(−1) n 1
2n + 1 .
n=0
[Al parecer, según algunos historiadores, este resultado fue descubierto
primero por James Gregory (1638–1675)]
En este libro no vamos a desarrollar la temática de las series de manera
amplia, nuestro objetivo con estas pequeñas acotaciones históricas
es simplemente introducir al lector en el conocimiento de algunos temas
muy importantes en el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral.
9.2 LA INTEGRACIÓN Y LA ANTI-
DERIVACIÓN
En el Capítulo 4 describimos un procedimiento para calcular el área
bajo la curva y = x 2 en el intervalo [0, a] con a > 0.
cotomía se resuelve en
el siglo XVII
El otro gran tema del
Cálculo lo constituye el
Cálculo integral. Se proporciona
en esta sección una
pequeña introducción a esta
temática, utilizando la motivación
del cálculo de áreas.