Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

112 Elementos de cálculo, volumen 2
Usando los teoremas sobre límites tenemos:
lim f(x)
x→c
=
f(x) − f(c)
lim f(c) + lim
· lim(x
− c)
x→x x→c x − c x→c
= f(c) + f ′ (c) · 0
= f(c)
Y esto quiere decir que f es continua en c.
Recuerde que hay funciones que son continuas pero no derivables en
algunos puntos, tal es el caso de f(x) = |x| (vea el Capítulo 5 para más
detalles).
Teorema 10.5. Derivada de una suma
Si f es derivable en x = c y g es derivable en x = c, entonces f + g es derivable en x = c y se tiene que
(f + g) ′ (c) = f ′ (c) + g ′ (c).
Prueba. Si f y g son derivables en x = c entonces existen los límites
f(c + h) − f(c)
lim
h→0 h
Por otra parte tenemos
g(c + h) − g(c)
y lim
h→0 h
(f + g)(c + h) − (f + g)(c)
lim
=
h→0
h
f(c + h) + g(c + h) − f(c) − g(c)
= lim
h→0
h
[f(c + h) − f(c)] + [g(c + h) − g(c)]
= lim
h→0
h
f(c + h) − f(c) g(c + h) − g(c)
= lim
+ lim
h→0 h
h→0 h
= f ′ (c) + g ′ (c)
Esto significa que (f + g) ′ (c) existe y (f + g) ′ (c) = f ′ (c) + g ′ (c).
Teorema 10.6. Derivada de un producto
Si f es derivable en x = c y g es derivable en x = c, entonces f · g es derivable en x = c y se tiene que
(f · g) ′ (c) = f ′ (c) · g(c) + f(c) · g ′ (c).
Prueba. Si f y g son derivables en x = c entonces existen los límites
f(c + h) − f(c)
lim
h→0 h
y lim
h→0
g(c + h) − g(c)
h