Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

30 Elementos de cálculo, volumen 2
producen como caso particular una fórmula que puede resultar útil en e
algunas circunstancias:
Aunque se sabía la existencia
del número e
a más de un siglo antes
de Leonhard Euler, la
representación “e” fue
dada por este gran
científico.
x x ln a
= e
A continuación se presenta los gráficos de las funciones exponenciales
cuando la base es mayor que 1 y cuando está entre 0 y 1.
y
✻
y
✻
a
1
1
✲ x
Figura 7.4. Gráfica de y = a x cuando a > 1
7.3 LÍMITES ESPECIALES
1
a ♣
De las gráficas de estas funciones podemos deducir que ellas son
continuas en todo su dominio, de manera que si c pertenece al dominio
de la función correspondiente, entonces se tiene:
lim[ln
x] = ln c
x→c
lim
x→c ex = e c
y en general
lim
x→c [loga x] = loga c
Basado en lo anterior tenemos
lim
x→c ax = a c
lim ln x = ln 3
x→3
lim
x→−1 ex = e −1 = 1
e
lim
x→8 log2 x = log2 8 = 3
lim
x→2 3x = 3 2 = 9
1
✲ x
Figura 7.5. Gráfica de y = a x cuando 0 < a < 1
Se calculan en esta sección
algunos límites con funciones
logarítmicas y exponenciales;
en particular un
límite que define al número
e.
✍
son simétricas
respecto a y = x
a
y
✻
1
✲
1
y = e x
✲ x
e
Figura 7.6. y = ln x, y = e x
son inversas
y = ln x