Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

109 Elementos de cálculo, volumen 2
⋆ Actividad: Escriba definiciones formales para los siguientes límites:
lim f(x) = L, lim f(x) = −∞, lim
x→c− −
x→c
x→−∞
f(x) = L
10.2 EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD
En el Capítulo 3 se dio la definición de continuidad en un punto.
Recordemos:
Definición 10.5. Continuidad
Se da la definición de
derivada y dos propiedades
de las funciones continuas:
la existencia de extremos de
la función en un intervalo
cerrado y el teorema de los
valores intermedios.
Una función f es continua en x = c está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además
Ejemplo 45. Continuidad en un punto
lim f(x) = f(c).
x→c
Demostramos en el ejemplo 1 que si f(x) = 3x + 1 entonces
lim(3x
+ 1) = 7
x→2
y además f(2) = 3(2) + 1 = 7. Concluimos que esta función es continua
en x = 2. △
Las propiedades de continuidad que se dieron en el Teorema 3.3 del
Capítulo 3 provienen directamente de la propiedades correspondientes
de los límites. Proporcionaremos aquí dos teoremas referidos a funciones
continuas.
Teorema 10.2. Existencia de máximos y mínimos
−5
3
−8
Figura 10.4.
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f tiene un valor máximo y un valor mínimo en
ese intervalo; esto es, existen valores c y d ambos en [a, b] tales que f(c) ≤ f(x) y f(d) ≥ f(x) para todo
x en [a, b].
Este teorema es conocido con el nombre de Teorema de Weierstrass.
Lo usamos en el ejemplo 8 del Capítulo 8, para asegurarnos la existencia
de un máximo y un mínimo de la función.
y
✻
40
27
1
✲
x