Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

115 Elementos de cálculo, volumen 2
según el Teorema de Rolle existe un c ∈ ]a, b[ tal que g ′ (c) = 0 o en otras
palabras, tal que
f ′ f(b) − f(a)
(c) − = 0
b − a
pero esto significa que
tal como queríamos.
f ′ (c) =
f(b) − f(a)
b − a
Observe que si una función f es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[
entonces su gráfica va desde el punto (a, f(a)) hasta el punto (b, f(b)). Si
unimos estos dos puntos mediante una recta L resulta que su pendiente
es
f(b) − f(a)
m = .
b − a
Entonces lo que el teorema enuncia es que bajo estas condiciones existe
algún punto en la gráfica de f en el que la tangente es paralela a la recta
L.
Ejemplo 48. Aplicando el Teorema del Valor Medio
Verificar que la función
f(x) = 5x 2 − 3x + 1
satisface las hipótesis del teorema del Valor Medio en el intervalo [1, 3]
y determinar el valor c que el teorema predice.
Solución: Puesto que f es un polinomio entonces es continua y derivable
y por lo tanto satisface las hipótesis del teorema en cualquier intervalo.
Por otro lado tenemos que
f ′ (x) = 10x − 3;
para encontrar el c que predice el teorema debemos resolver la siguiente
ecuación:
f ′ f(3) − f(1)
(c) = =
3 − 1
37 − 3
= 17.
2
Esto es
10c − 3 = 17 =⇒ 10c = 20 =⇒ c = 2
es el valor que buscábamos. △
Finalizamos el capítulo demostrando un teorema, del cual hicimos
uso en el Capítulo 2, referido al crecimiento de las funciones. La demostración
de este teorema se basa en el Teorema del Valor Medio.
✻ y
f(a)
f(b)
m = f(b)−f(a)
b−a
✎
✲
a c b
m = f ′ (c)
Figura 10.9. Teorema del
Valor Medio
y
37 ✻
3
✲ x
1 2 3
f(x)=5x 2−3x+1 Figura 10.10.
x