Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

98 Elementos de cálculo, volumen 2
17. Cuando una serie es convergente se puede
aproximar su suma tomando unos cuantos de
los primeros términos de la serie. Desde luego,
entre más términos sumemos mejor será la
aproximación obtenida. Según esto, obtenga
∞ 2
una aproximación de la serie sumando
3n n=1
los cinco primeros términos de ella.
18. Dado que e x =
19.
20.
∞
n=0
x n
n! ,
(a) escriba la serie que corresponde a e 2 .
(b) utilice los cinco primeros términos de la
serie de la parte (a) para dar una aproximación
de e 2 .
En los ejercicios 19 a 21 escriba integrales
definidas que correspondan al área sombreada
dada.
y
✻
3π/2
...... ... ✲......
x
−π/2
.. . ..
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Figura 9.18. f(x) = cos x
y
✻
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−1 1
. .. . . .. . ..
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Figura 9.19. f(x) = e −x2
✲ x
21.
y
✻
. ............
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−2 2
Figura 9.20. f(x) = x 2
✲ x
22. Calcule las siguientes integrales indefinidas.
(a) x 5
dx (b) (x 5 + 2x) dx
(c) e 2x
dx (d) sen 3x dx
23. Calcule las siguientes integrales definidas.
(a)
(c)
1
0
1
0
(x 2 + 4x + 3) dx (b)
e 2x dx (d)
π/2
−π/2
2
(x
−1
3 + x 2 ) dx
cos x dx
24. ¿Cuáles de las siguientes funciones son
solución de la ecuación diferencial y ′′ −y ′ −6y =
0?
(a) f(x) = e 2x (b) f(x) = e x (c) f(x) = x 2
(d) f(x) = e −2x (e) f(x) = sen x
25. Sabiendo que y = sen kx es solución de la
ecuación diferencial y ′′ + 9y = 0, determine
el valor o los valores de k.
26. Plantee una ecuación diferencial que describa
el problema de encontrar la ecuación de una
curva que pase por un punto dado y tal que
en cualquiera de sus puntos (x, y) la pendiente
de la recta tangente es
y − 1
1 − x .
27. Una población de bacterias en un experimento
crece cada segundo en forma proporcional a
la cantidad presente. Si la constante de proporcionalidad
es 2 y si inicialmente hay 1 000
bacterias, ¿cuántas bacterias habrá un minuto
después? (utilice una calculadora)