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CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y EL CÁLCULO . En el Volumen I vimos los métodos del Cálculo con funciones algebraicas. Esto es: polinomios y combinaciones de ellos mediante sumas, restas, productos, cocientes, potencias y radicales. En este capítulo veremos algunas de las reglas del cálculo referidas a otro tipo de funciones que usted ya conoce: las funciones trigonométricas. La trigonometría Quien se afirma a sí mismo como juez en el campo de la Verdad y el Conocimiento, será hundido por la risa de los dioses. Albert Einstein Trigonometría significa “medida del triángulo”. Puede decirse que en ese sentido nace desde que las primeras mediciones daban lugar a los triángulos. Se podría rastrear su origen desde el Egipto y la Babilonia de la era de las grandes Civilizaciones de Bronce. Pero estaríamos hablando de una trigonometría muy rudimentaria. El origen más elaborado de la trigonometría se desarrolló en la Grecia Antigua para ayudar en la astronomía. La astronomía griega ocupaba geometría esférica y, por eso, la trigonometría que desarrollaron fue esférica (espacial y relativa a esferas).
2 Elementos de cálculo, volumen 2 La creación de la trigonometría fue la obra esencialmente de tres matemáticos del período alejandrino: Hiparco (circa 150 a. C.), Menelao (circa 98 d. C.) y Ptolomeo, este último (168 d. C.) fue el gran astrónomo que sustentó la teoría geocéntrica (el Sol y los planetas giran alrededor de la Tierra). La trigonometría plana, que es la que estudiamos normalmente en los colegios y universidades, es más bien útil para las mediciones topográficas y los griegos antiguos (como por ejemplo Herón) prefirieron aplicar la geometría euclideana y no la trigonometría plana. Ahora bien, la división de la circunferencia en 360 unidades (grados) se originó en la astronomía babilónica. Ptolomeo siguió en esto a los babilónicos y, además, dividió el grado en 60 minutos (minutae primae), y el minuto en 60 segundos (minutae secundae). Veamos cómo estudiaban la trigonometría los griegos. Observe el diagrama representado en la figura 6.1. Los griegos trabajaban las funciones trigonométricas como cuerdas BC o AB asociadas respectivamente a un arco BC o arco AB. Observe que en nuestros términos B Figura 6.2. (pues sen( α 2 O α 2 2[sen( α )] · r 2 r BC = 2[sen( α )] · r 2 C BC ) = /r) y, también, 2 AB = 2[cos( α 2 )]r. Usando el teorema de Pitágoras tenemos: Es decir: (AB) 2 + (BC) 2 = (2r) 2 [2 cos( α 2 ) r] 2 + [2 sen( α 2 ) r] 2 = (2r) 2 4r 2 cos 2 ( α 2 ) + 4r2 sen 2 ( α 2 ) = 4r2 =⇒ cos 2 ( α 2 ) + sen2 ( α ) = 1 2 ❯ A arco AB ❖ B r cuerda AB Figura 6.1. α α 2 α 2 O ✴ r cuerda BC C
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