Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

114 Elementos de cálculo, volumen 2
Básicamente lo que el teorema establece es que bajo las hipótesis que
se piden la gráfica de la función debe tener al menos un punto en el cual
la recta tangente es horizontal.
Ejemplo 47. Aplicando el Teorema de Rolle
Sea f(x) = −x 2 −2x+7. Probar que f satisface las hipótesis del Teorema
de Rolle en el intervalo [−3, 1] y encontrar el o los números c en ] − 3, 1[
tales que f ′ (c) = 0.
Solución: En efecto f es continua y derivable en todo R, en particular
en los intervalos deseados. Por otra parte
y
f(−3) = −3 2 − 2(−3) + 7 = 4
f(1) = −1 2 − 2(1) + 7 = 4.
De manera que se satisfacen las hipótesis del Teorema de Rolle.
Ahora tenemos f ′ (x) = −2x − 2 y resolvemos f ′ (c) = 0, o sea,
−2c − 2 = 0 =⇒ −2c = 2 =⇒ c = 2
= −1
−2
es el valor que buscábamos. △
Teorema 10.8. Teorema del Valor Medio
4
✻ y
−3 −1 1
f ′ (−1) = 0
✲ x
f(x)=−x 2 −2x+7
Figura 10.8.
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en ]a, b[, entonces existe al menos un
número c ∈ ]a, b[ tal que
f ′ f(b) − f(a)
(c) = .
b − a
La demostración de este teorema es algo larga y no la presentaremos
por completo aquí. Consiste en construir otra función g a partir de la
función dada f:
g(x) = f(x) −
f(a) +
f(b) − f(a)
(x − a) ,
b − a
que satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [a, b].
Como
g ′ (x) = f ′ f(b) − f(a)
(x) − ,
b − a