Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

102 Elementos de cálculo, volumen 2
(intuitivos, constructivos, etc.), pero una vez que llega a éste debe demostrar
su resultado y expresarlo (escribirlo) de acuerdo con los criterios
aceptados por la comunidad matemática.
Si los criterios aceptados dependen de la comunidad matemática, estos
criterios usualmente cambian con el desarrollo histórico. Por ejemplo,
en un momento fue válido definir las curvas solo por construcciones
geométricas (en la Grecia Antigua), pero en otro momento era también
válido definir curvas por medio de ecuaciones algebraicas (después de
Descartes y Fermat).
Para Newton, Leibniz, Euler y muchos matemáticos de los siglos
XVII y XVIII la geometría, e incluso la física, era buen criterio para
desarrollar el Cálculo (y así lo hicieron con mucho éxito). Esto, por
diversas razones, cambiaría.
En el siglo XIX uno de los criterios que introdujo la comunidad
matemática en sus demostraciones alrededor del Cálculo fue establecer En el siglo XIX
que éstas descansaran exclusivamente en la lógica, el álgebra y la aritmética,
y no en la geometría (y mucho menos en la física).
Debe reconocerse que, a pesar del gran éxito en resultados y aplicaciones
que se logró en el siglo XVIII, se había filtrado una gran cantidad
se fundamenta las
matemáticas
de inconsistencias lógicas y errores, situación que demandaba la real- Menos física y ge-
ización de un proceso de fundamentación y mayor rigor en el Cálculo.
Esta fundamentación se realizó asumiendo como nuevo criterio la “aritmetización”
y la “desgeometrización”.
Cauchy y Weierstrass
Agustin Cauchy
Como se puede ver, aquí ya no hay referencia a cantidades que se
mueven o que se hacen infinitamente pequeñas. Nada de física ni de
geometría.
Debe decirse que Bernhard Bolzano (1781–1848) también había elaborado
un enfoque similar al de Weierstrass y, también, que Cauchy en
buena parte tiene la misma aproximación.
Hasta el momento, en este libro, hemos puesto el énfasis en los con-
ometría, y más
álgebra, aritmética y
lógica para fundamentar
las matemáticas
Los dos matemáticos más relevantes en la historia de la
“rigorización” fueron el francés Augustin Louis Cauchy
(1789–1857) y el alemán Karl Weierstrass (1815–1881). El
tratamiento finalmente establecido para las nociones de
límite, continuidad, derivada, integral, convergencia, plenamente
“desgeometrizado”, así como la “aritmetización” del
Cálculo, o el Análisis, fue dado por Weierstrass. Un ejemplo,
la definición de límite dada por Weierstrass:
“Si, dado cualquier ε, existe un η0 tal que para
0 < η < η0, la diferencia f(x0 ± η) − L es menor
en valor absoluto que ε, entonces se dice que L
es el límite de f(x) para x = x0.”