Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

83 Elementos de cálculo, volumen 2
pues
F ′ (x) = (sen x) ′ = cos x.
Decimos que G y F son antiderivadas de x 2 y cos x respectivamente.
También se les llama con el término de primitivas.
Se puede observar que existe más de una antiderivada de una función.
Por ejemplo, si
G ′ (x) = x 2 ,
las funciones
x 3
3
x 3
3
+ 1,
− 8,
x3 3 + √ 245
también son primitivas (¿Por qué?). En realidad, cualquier expresión de
la forma
x3 + K,
3
donde K es un valor arbitrario constante, es una antiderivada de x 2 .
Existe un número infinito de antiderivadas para una función, pero todas
difieren entre sí a lo sumo en una constante. (¿Por qué?)
Si consideramos
La integración indefinida
F ′ (x) = x 2
como una ecuación (puede escribirse si se quiere: F ′ (x) − x2 = 0), decimos
que variable de integración
F (x) =
.
.
x3
+ C
3
(con C una constante arbitraria) representa la solución general, o que
todas las antiderivadas de x 2 son de la forma
x 3
3
+ C,
donde C ∈ R.
La anterior situación se expresa simbólicamente así:
x 2 dx = x3
3
+ C, C constante arbitraria
Se dice: la integral indefinida de la función x2 con relación a la
variable x es x3
+ C.
3
f(x) dx = G(x) + C
.
.
.
.
integrando constante
de integración
Observe que la notación
que se usa es la de Leibniz.