Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

106 Elementos de cálculo, volumen 2
Teorema 10.1. El límite de una suma es la suma de los límites
Sean f y g dos funciones que están definidas en un intervalo abierto que
contiene a c,
excepto tal vez en
f(x) + g(x) y se tiene que:
c. Si existen los límites lim
x→c f(x) y lim
x→c g(x) entonces también existe lim
x→c
lim
x→c
f(x) + g(x) = lim
x→c f(x) + lim
x→c g(x)
Prueba. Supongamos que lim f(x) = L y lim g(x) = M. Entonces ten-
x→c x→c
emos que para todo ε > 0 existen δ1 y δ2 tales que:
y
si 0 < |x − c| < δ1 entonces |f(x) − L| < ε
2
si 0 < |x − c| < δ2 entonces |g(x) − M| < ε
2 .
(según la definición lo anterior vale para cualquier ε, por conveniencia
entonces tomamos ε
2 ).
Tomemos δ como el menor entre δ1 y δ2, simbólicamente esto se
escribe
δ = min{δ1, δ2}.
Como δ = min{δ1, δ2} entonces
significa que
y por lo tanto
Del mismo modo,
significa que
y por lo tanto
y entonces tenemos:
0 < |x − c| < δ
0 < |x − c| < δ1
|f(x) − L| < ε
2 .
0 < |x − c| < δ
0 < |x − c| < δ2
|g(x) − M| < ε
2
|(f(x) + g(x)) − (L + M)| < |(f(x) − L) + (g(x) − M)|
≤ |f(x) − L| + |g(x) − M|
(propiedad del valor absoluto)
≤ ε ε
+ = ε
2 2