Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

2 Elementos de cálculo, volumen 2
La creación de la trigonometría fue la obra esencialmente de
tres matemáticos del período alejandrino: Hiparco (circa 150 a.
C.), Menelao (circa 98 d. C.) y Ptolomeo, este último (168 d. C.)
fue el gran astrónomo que sustentó la teoría geocéntrica (el Sol y
los planetas giran alrededor de la Tierra).
La trigonometría plana, que es la que estudiamos normalmente
en los colegios y universidades, es más bien útil para las mediciones
topográficas y los griegos antiguos (como por ejemplo Herón) prefirieron
aplicar la geometría euclideana y no la trigonometría plana.
Ahora bien, la división de la circunferencia en 360 unidades
(grados) se originó en la astronomía babilónica. Ptolomeo siguió
en esto a los babilónicos y, además, dividió el grado en 60 minutos
(minutae primae), y el minuto en 60 segundos (minutae secundae).
Veamos cómo estudiaban la trigonometría los griegos. Observe
el diagrama representado en la figura 6.1.
Los griegos trabajaban las funciones trigonométricas como cuerdas
BC o AB asociadas respectivamente a un arco BC o arco AB.
Observe que en nuestros términos
B
Figura 6.2.
(pues sen( α
2
O
α 2
2[sen( α
)] · r 2
r
BC = 2[sen( α
)] · r
2
C
BC ) = /r) y, también,
2
AB = 2[cos( α
2 )]r.
Usando el teorema de Pitágoras tenemos:
Es decir:
(AB) 2 + (BC) 2 = (2r) 2
[2 cos( α
2 ) r] 2 + [2 sen( α
2 ) r] 2 = (2r) 2
4r 2 cos 2 ( α
2 ) + 4r2 sen 2 ( α
2 ) = 4r2 =⇒
cos 2 ( α
2 ) + sen2 ( α
) = 1
2
❯
A
arco AB
❖
B
r
cuerda AB
Figura 6.1.
α
α 2 α 2
O
✴
r
cuerda BC
C