Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM
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41 Elementos de cálculo, volumen 2<br />
Ejemplo 17. Uso de la derivación logarítmica<br />
Calcular la derivada de f(x) = x x .<br />
Solución: En este caso tenemos una situación especial. Esta es una<br />
potencia en la cual la base es variable y también el exponente es variable.<br />
Aplicamos ln a ambos lados y procedemos como en el ejemplo anterior:<br />
f(x) =x x ⇒ ln f(x) = ln x x<br />
⇒ ln f(x) = x ln x<br />
⇒ [ln f(x)] ′ = [x ln x] ′<br />
⇒<br />
⇒<br />
f ′ (x)<br />
1<br />
= ln x + x ·<br />
f(x) x<br />
f ′ (x)<br />
= ln x + 1<br />
f(x)<br />
⇒ f ′ (x) = f(x)(ln x + 1)<br />
⇒ f ′ (x) = x x (ln x + 1)<br />
De manera que (x x ) ′ = x x (ln x + 1). △<br />
Ejemplo 18. Una derivación implícita<br />
Calcular y ′ si se tiene que y está definido en forma implícita por la<br />
ecuación:<br />
ln(x + y) = x 2 + y 2<br />
Solución: Procedemos por el método de derivación implícita:<br />
[ln(x + y)] ′ = (x 2 + y 2 ) ′ (x + y)<br />
⇒<br />
′<br />
= 2x + 2y · y′<br />
x + y<br />
1 + y<br />
⇒<br />
′<br />
= 2x + 2y · y′<br />
x + y<br />
⇒ 1 + y ′ = (x + y)(2x + 2y · y ′ )<br />
⇒ 1 + y ′ = (x + y)(2x) + (x + y)(2y · y ′ )<br />
⇒ y ′ − (x + y)(2y · y ′ ) = (x + y)(2x) − 1<br />
⇒ y ′ [1 − (x + y)(2y)] = (x + y)(2x) − 1<br />
⇒ y ′ =<br />
(x + y)(2x) − 1<br />
1 − (x + y)(2y)<br />
△<br />
y<br />
✻<br />
1<br />
2<br />
Figura 7.8.<br />
y = 2x − 2<br />
1<br />
✲ x<br />
f(x) = ln(2x − 1)
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