Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

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19 Elementos de cálculo, volumen 2 En efecto, tenemos que tan x = (tan x) ′ = sen x ′ cos x sen x cos x y por lo tanto = (sen x)′ cos x − sen x(cos x) ′ (cos x) 2 (usando la derivada de un cociente) = cos x cos x − sen x(− sen x) cos2 x (porque (sen x) ′ = cos x y (cos x) ′ = − sen x) = cos2 x + sen2 x cos2 x 1 = cos2 x = sec 2 x Esto es: (tan x) ′ = sec 2 x. La derivada de las funciones trigonométricas Realizando un procedimiento análogo al anterior se puede calcular las derivadas de las restantes funciones trigonométricas básicas. A continuación se da una tabla con todas ellas. Tabla 6.3 <strong>Derivadas</strong> de las funciones trigonométricas (sen x) ′ = cos x (cos x) ′ = − sen x (tan x) ′ = sec 2 x (cot x) ′ = − csc 2 x (sec x) ′ = sec x tan x (csc x) ′ = − csc x cot x Ejemplo 6. Cálculo de derivadas Calcular la derivada de las siguientes funciones: (a) y = x sen x (b) y = cos x + 1 x − 2 (c) y = √ tan x − x Solución: (a) Aquí se trata de un producto, aplicamos la regla correspondiente: y ′ = (x sen x) ′ = (x) ′ sen x + x(sen x) ′ = sen x + x cos x.
20 Elementos de cálculo, volumen 2 (b) En este caso se trata de la derivada de un cociente: y ′ = ′ cos x + 1 x − 2 = (cos x + 1)′ (x − 2) − (cos x + 1)(x − 2) ′ (x − 2) 2 = (− sen x)(x − 2) − (cos x + 1) (x − 2) 2 . (c) Como √ tan x − x = (tan x−x) 1 2 , entonces se trata de la derivada de la potencia de una función: y ′ tan 1 ′ 2 = x − x = 1 1 − 2 ′ tan x − x (tan x − x) 2 = 1 1 − 2 2 tan x − x (sec x − 1) 2 Antes de dar algunos ejemplos más sobre el cálculo de derivadas de funciones en las que aparecen combinadas las funciones trigonométricas y las funciones algebraicas daremos una regla más para derivación, de la cual, en el Capítulo 5 dimos un caso particular (el que usamos en el punto (c) del ejemplo precedente). Esta regla, conocida como la regla de la cadena, se refiere a la derivada de una composición de funciones. Teorema 6.2. Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que existe g ′ (x) y existe f ′ (g(x)) entonces la derivada de la función compuesta f ◦ g existe en x y se tiene (f ◦ g) ′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x). El teorema anterior nos permite calcular la derivada de funciones que antes no estábamos en condiciones de determinar. △
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