Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

84 Elementos de cálculo, volumen 2
Otro ejemplo:
cos x dx = sen x + C
En general: si G ′ (x) = f(x) se tiene que f(x) dx = G(x) + C.
⋆ Nota: A pesar de la similitud entre los símbolos
b
a
f(x) dx y
f(x) dx, representan conceptos diferentes. Son el resultado de
procesos teóricos distintos:
(1)
(2)
b
a
f(x) dx del límite al infinito de sumas: la integración
f(x) dx a partir de revertir la derivación (límite de co-
cientes ∆y
∆x )
El cálculo de antiderivadas, primitivas o integrales indefinidas se
puede realizar con gran facilidad usando las múltiples propiedades de la
derivación que hemos estudiado.
Por ejemplo:
•
•
x 4 dx = x5
5
+ C
x n dx = xn+1
n + 1
+ C (pues d
dx
xn+1 n+1 = (n + 1) xn+1−1
n+1 = xn )
En noviembre de 1776 Leibniz, por ejemplo, dio las reglas generales
dx n = nx n−1 dx
para n entero o racional y
x n = xn+1
n + 1
(escritas en aquel entonces de esta forma).
• (cos x + e x
) dx = cos x dx +
d(e x )
dx = ex )
e x dx = sen x + e x + C (recuerde
El Teorema Fundamental del Cálculo
La razón por la que hemos llamado la antiderivada como integral indefinida,
y hemos usado símbolos casi idénticos
∼ b
= a , es porque
aunque la derivación y la integración definida son conceptualmente diferentes
son procesos inversos. Esta relación tan interesante fue conocida
por el maestro de Newton, Isaac Barrow, pero no fue sino hasta