Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

14 Elementos de cálculo, volumen 2
Ejemplo 2. Cálculo de un límite de funciones
trigonométricas con algebraicas
Calcular lim
x→π (x + x 2 cos x).
Solución: Utilizando las propiedades de los límites estudiadas en
capítulos anteriores tenemos
lim
x→π (x + x2 cos x) = lim x + lim x
x→π x→π 2 · lim cos x
x→π
= π + π 2 · −1
= π − π 2
. △ f(x) = x + x 2 cos x
Tenemos, igual que antes: si al evaluar no encontramos problemas
entonces obtenemos el límite directamente. Pero, también,
aquí podemos encontrar problemas. Piense en el siguiente límite:
lim
x→0
sen x
x .
Tenemos una situación especialmente difícil puesto que al evaluar
obtenemos la forma indeterminada 0;
con un agravante: no
0
podemos ni factorizar, ni racionalizar, ni operar como lo hacíamos
antes. Es evidente que aquí debemos utilizar otros métodos. Dentro
de un momento aprenderemos cuál es el valor de ese límite y
podremos utilizarlo para calcular otros parecidos. Pero para llegar
a ese valor antes veremos un teorema que nos será de mucha
utilidad.
Teorema 6.1. Teorema de intercalación
Figura 6.18.
Sea I un intervalo abierto que contiene a c y suponga que para todo x ∈ I (salvo tal vez para
x = c) se tiene que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), si además lim g(x) = lim h(x) = L, entonces también
x→c x→c
lim f(x) = L.
x→c
La figura 6.19 representa un ejemplo de la situación que se da:
la función h va por arriba, la función g va por abajo y la función f
va en medio de ellas. Si tanto h como g se acercan a un mismo valor,
a f no le queda otra que ir hacia ese valor puesto que queda inter-
calada entre ellas. Por esta razón el teorema también es conocido
con el nombre del teorema del sandwich. Lo dicho anteriormente no
es una demostración del teorema, solamente es una idea intuitiva
basada en la situación gráfica.
L
y
✻
Figura 6.19.
❝
c
y = h(x)
y = g(x)
y = f(x)
✲ x