Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

54 Elementos de cálculo, volumen 2
8.2 FUNCIONES DISCONTINUAS APLI-
CADAS
Quizás a usted le parecieron extrañas algunas funciones definidas
“por partes” que consideramos en el Volumen 1 en el contexto de la
continuidad; sin embargo, algunas de ellas son muy importantes en las
aplicaciones. Aquí veremos algo con respecto a una función discontinua
muy útil: la llamada función de Heaviside.
Esta función es de especial importancia en la ingeniería eléctrica. De
hecho, se llama así en honor de un ingeniero eléctrico, Oliver Heaviside,
quien hizo grandes aportes en la aplicación de las matemáticas en la
ingeniería eléctrica.
Definición 8.1. La función de Heaviside
Se llama función de Heaviside o función escalón unidad a la función H definida por
0 si t < 0
H(t) =
1 si t ≥ 0
Lo que esto significa es que la imagen de cualquier t negativo es 0,
por ejemplo,
H(−2) = 0, H(−1) = 0, H(− 1
) = 0;
2
mientras que la imagen de 0 o de cualquier número t positivo es 1, por
ejemplo
H(0) = 1, H( 1
) = 1, H(5) = 1, etc.
2
La figura 8.1 representa la gráfica de esta función.
Observe que la función de Heaviside es discontinua en 0 (presenta
una discontinuidad de “salto”) y es continua en el resto del dominio. La
discontinuidad proviene de que
lim H(t) = 0 mientras que lim H(t) = 1.
t→0− +
La importancia de esta función en la ingeniería eléctrica radica en que
puede considerarse como una función conmutadora. Esto es, suponga
que usted tiene un bombillo que solo tiene dos estados: encendido o
apagado; se puede asignar un número a cada estado:
encendido = 1,
apagado = 0.
Si usted considera el momento exacto en que enciende la lámpara
como el instante t = 0, entonces para los t “siguientes” (t > 0) la
lámpara estará encendida: 1; para los t “anteriores” al encendido (t < 0),
la lámpara estaba apagada: 0.
t→0
En esta sección se introduce
una aplicación de las
funciones discontinuas: la
función de Heaviside y su
aplicación en ingeniería.
y
✻
1
❞
0
Figura 8.1. Función de
Heaviside
✲ x