Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

53 Elementos de cálculo, volumen 2
Ejemplo 21. Calculando un interés
Si se colocan |c 10 000 a un interés compuesto continuamente del 24%
anual, ¿cuál será el capital al cabo de un año?
Solución: Según lo comentado antes, el capital al final del año será
C = 10 000e 24/100 = 10 000e 0,24 = 10 000·1, 2712492 = 12 712, 49 colones
. △
Un caso en el que la resistencia del aire
es importante
Si uno se lanza desde un avión en el aire posiblemente no tendrá
un final muy feliz, a no ser que utilice un paracaídas que funcione adecuadamente.
La idea básica de un paracaídas es que, por su forma,
el aire presenta una gran resistencia que funciona como una especie de
frenado. Desde luego, el frenado no es tanto como para quedar completamente
suspendido en el aire; de manera que al caer al suelo con un
paracaídas se lleva cierta velocidad (no tanta, para no sufrir un golpe
fuerte).
Mediante algunos conocimientos de la física se puede demostrar que
si un hombre se lanza a una velocidad de 55 m/seg hasta el momento
de abrirse el paracaídas y si la resistencia del aire es proporcional al
cuadrado de la velocidad, entonces la velocidad a la que baja el paracaidista
es
v = 5e−25,5t + 6
.
1, 2 − e−24,5t Resulta que si se lanza desde una altura suficientemente grande, la
velocidad comienza a estabilizarse (esto en particular significa que casi
no tendrá aceleración) y con esa velocidad cae al suelo.
Efectivamente, si vemos qué sucede cuando t se hace cada vez mayor
podemos calcular la velocidad de estabilización:
lim v = lim
t→∞ t→∞
5e−25,5t + 6 6
= = 5
1, 2 − e−24,5t 1, 2
(esto es así porque lim
t→∞ e −24,5t = 0).
Tenemos que: a medida que va bajando, la velocidad del paracaidista se
hace cada vez más próxima a 5 m/seg.