Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

49 Elementos de cálculo, volumen 2
47. h(x) = x2x (x 2 + 1)
(x 2 − 1) 4√ x + 1
48. g(x) = tan2 5x sen 3 2x
(x + 1) √ 2x
En los ejercicios 49 a 52 utilice derivación
implícita para calcular y ′ .
49. e xy + xy = 1
50. ln(2x + 2y) + x 2 = y 2
51. 4x 2 y − e y = e x
52. ln(xy 2 ) + 2x − y = 5
53. Pruebe que cosh 2 x − senh 2 x = 1
54. Del ejercicio anterior deduzca que
1 − tanh 2 x = sech 2 x
55. Determine la ecuación de la recta tangente a
la gráfica de y = x + log 2(x 2 + 4) en el punto
(2, 5)
56. Pruebe que la recta y = x es tangente a la
gráfica de y = tanh x.
Figura 7.10.
✻ y
✲ x
57. Determine los puntos donde la recta tangente
a la curva y = e x − x es horizontal.
Figura 7.11.
✻ y
✲ x
58. La figura 7.12 representa la gráfica de la la
función f(x) = ln x. La recta L es tangente
a la gráfica en el punto P . Pruebe que para
cualquier P con estas condiciones se tiene que
el segmento AB tiene longitud 1.
B
A
Figura 7.12.
✻ y
P
L
✲ x
59. Determine los puntos de la gráfica y = x 2 +
4 ln x en los que la recta tangente es paralela
a la recta de ecuación y = 6x − 3.