Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

25 Elementos de cálculo, volumen 2
1 − cos x
41. lim
x→0 x2 1 − 2x
42. lim
x→0
2 − 2 cos x + cos2 x
3x2 5r sen r + 7r
43. lim
r→0
2
2r2 44. Utilice la definición de derivada para calcular
la primera derivada de las funciones:
(a) f(x) = sen 4x (b) g(x) = cos 3x
En los ejercicios 45 a 60 calcule la primera
derivada de la función dada.
45. f(x) = x sen x
46. g(t) = sen(3t + 5)
47. h(x) = 5x + cos 3x
48. g(t) =
sen t
1 + cos t
49. p(s) = tan 2 3s
50. f(x) = sec √ x + 1
51. g(t) =
sec 3t
1 + tan 3t
52. g(t) = (t + t 2 ) sec(t + 5)
53. h(x) = sen x + √ cos x
54. g(t) =
cos t − 1
1 + cos t
55. p(s) = sen s 3
√
sen t
56. g(t) =
1 + √ cos t
57. p(s) = sec 2 s + tan 2 s
58. g(t) = −3 csc(2t + 5)
59. h(x) = 5 cos x + cot 3x
60. p(s) = (tan 3s + sec 2s) 3
En los ejercicios 61 a 64 utilice derivación
implícita para calcular y ′ .
61. x cos y = x 2 + y 2
62. x 2 y − sen(xy) = 5
63. sen(xy) + tan(xy) = 1
64.
1 + cos x
1 + sen y
= 1
65. Suponga que K es un número real no negativo
y que f es una función tal que 0 ≤ f(x) ≤ K
para todo x. Pruebe que
lim
x→0 x2f(x) = 0
(use el teorema de intercalación).
66. La figura 6.25 representa la gráfica de la
función f(x) = tan x en el intervalo ] − π π
2 , 2 [.
La recta L es tangente a la curva en el punto
(c, tan c). Pruebe que el área del triángulo
P QR es igual a π2
8 sec2 c
Figura 6.25.
✻ y
(c, tan c)
P
❄
67. Determine la ecuación de la recta normal y la
ecuación de la recta tangente a la curva dada
por y = x cos x en el punto (π, −π).
68. Determine la ecuación de la recta normal y la
ecuación de la recta tangente a la curva dada
por y = 2 sen x + tan x en el punto (0, 0).
R
Q
✲
x