Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

116 Elementos de cálculo, volumen 2
Teorema 10.9. Crecimiento de la función
Sea f una función continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, entonces:
1. Si f ′ (x) > 0 para todo x en ]a, b[ entonces f es creciente en [a, b].
2. Si f ′ (x) < 0 para todo x en ]a, b[ entonces f es decreciente en [a, b].
Prueba. Para demostrar el punto (1.) supongamos que f ′ (x) > 0 para
todo x ∈ ]a, b[. Tomemos x1 y x2 en [a, b] tales que x1 < x2, como
queremos f creciente, debemos demostrar que f(x1) < f(x2). Aplicando
el Teorema del Valor Medio en el intervalo [x1, x2] tenemos que existe c
en ]x1, x2[ tal que
f ′ (c) = f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=⇒ f(x2) − f(x1) = f ′ (c)(x2 − x1)
Por hipótesis f ′ (c) > 0 y al ser x2 > x1 también la diferencia x2 − x1
es positiva; esto implica que f ′ (c)(x2 − x1) > 0 y por lo tanto f(x2) −
f(x1) > 0. De esto se deduce que f(x2) > f(x1) tal como queríamos.
Pruebe usted el punto (2.) como ejercicio (es muy parecido a lo
anterior)
El objetivo central de este capítulo fue dar un rápido recorrido ilustrativo
por algunos de los aspectos formales de los temas que desarrollamos
en el resto del libro. Algunos de los teoremas que enunciamos
tienen un sentido gráfico muy claro pero sus demostraciones no
son nada sencillas (tal el caso del teorema de Weierstrass). Desde el
punto de vista formal un buen dibujo es una gran ayuda de tipo intuitivo
pero de ninguna manera constituye una demostración de un hecho
general.
10.4 INFINITESIMALES Y ANÁLISIS
NO–STANDARD
Resulta interesante mencionar que el proceso de “rigorización” y “aritmetización”
que realizó Weierstrass eliminó lo que se suele llamar los
Se hace un breve comentario
sobre dos enfoques distintos
presentes en la historia del
Cálculo: los infinitesimales
y el análisis no–standard.
“infinitesimales” en el Cálculo. Muchos matemáticos habían considera- Los infinitesimales:
do la existencia (matemática) de números o elementos que eran infinitamente
pequeños (infinitesimales), es decir, más pequeños que cualquier
número, pero diferentes de cero. También la existencia de números infinitamente
grandes, es decir, más grandes que cualquier número real.
Estos infinitesimales (y estas propiedades) se usaron con éxito para lograr
los resultados del Cálculo Diferencial e Integral. Leibniz formuló
una teoría dominante
en el Cálculo hasta
Cauchy