Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

34 Elementos de cálculo, volumen 2
7.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
LOGARÍTMICAS Y EXPONEN-
CIALES
Ahora veremos cómo se calculan las derivadas de las funciones logarítmicas
y exponenciales.
La derivada de y = ln x
Esta es la función logaritmo natural (el logaritmo de base e). Utilizando
los límites recientemente estudiados podemos calcular su derivada mediante
la definición. Tenemos:
y ′ = (ln x) ′
ln(x + h) − ln x
= lim
h→0 h
= lim
h→0
ln
x+h
x
h
(usando la propiedad del logaritmo de un cociente)
1
= lim
h→0 h ln
1
x + h
x + h h
= lim ln
x h→0 x
(usando la propiedad del logaritmo de una potencia)
= lim ln 1 +
h→0 h
1
h
x
= ln e 1
x (según el último de los límites vistos anteriormente)
= 1
x (porque ln ez = z para cualquier z)
Es decir la derivada de ln x es 1
x :
(ln x) ′ = 1
x
La derivada de y = e x
Usemos la regla de la cadena para calcular esta derivada. Puesto
que ln x y e x son mutuamente inversas entonces tenemos que
derivando a ambos lados tenemos
ln e x = x,
(ln e x ) ′ = (x) ′ = 1,
Aquí se calculan las
derivadas de las funciones
logarítmica y exponencial
y se utilizan para calcular
derivadas de funciones más
complejas.
Los números más
importantes se juntan:
Euler descubrió una
relación matemática
fundamental que vincula
estos números tan
importantes π, e, i, 0, 1:
e π i + 1 = 0 .
El símbolo i se usa para
representar √ −1 (el
número imaginario que
se usa como “base”).
Fue introducido con este
sentido por Euler en 1777
(al final de su vida).