Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

62 Elementos de cálculo, volumen 2
El siguiente teorema nos dice que lo anterior es correcto:
Teorema 8.1. La derivada y el crecimiento de las funciones
Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y derivable en ]a, b[ entonces:
1. Si f ′ (x) > 0 para todo x en ]a, b[ entonces f es creciente en [a, b].
2. Si f ′ (x) < 0 para todo x en ]a, b[ entonces f es decreciente en [a, b].
Ejemplo 25. Intervalos donde crece y decrece la función
Sea f(x) = x 3 + x 2 − 5x − 5.
Determine en qué intervalos es f creciente y en qué intervalos es
decreciente.
Solución: Calculamos la derivada
f ′ (x) = 3x 2 + 2x − 5 = (3x + 5)(x − 1).
Para aplicar el teorema anterior debemos saber dónde es positiva y dónde
es negativa. Lo más adecuado es hacer una tabla de signos como la
siguiente
Tabla 8.2
x −∞
−5
3 1 +∞
3x + 5 − + +
x − 1 − − +
f ′ (x) + − +
Lo anterior se interpreta diciendo que f es creciente en los intervalos
] − ∞, −5
−5
3 ] y [1, +∞[ y es decreciente en [ 3 , 1]. △
Máximos y mínimos
La gráfica de una función nos permite determinar sus máximos y mínimos,
ya sea absolutos o relativos. Estos son los puntos “más altos” y
“más bajos” en la gráfica de la función, que mencionamos antes.
Figura 8.11. f(x)=x 3 +x 2 −5x−5