Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

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104 Elementos de cálculo, volumen 2 Ejemplo 41. Demostrando un límite con el uso de la definición Demostrar que lim x→2 (3x + 1) = 7. Solución: Aquí tenemos que f(x) = 3x + 1, c = 2 y L = 7. Siguiendo la definición para este caso particular debemos demostrar que para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que: si 0 < |x − 2| < δ entonces |f(x) − 7| < ε. 1 Usualmente se trata de tener una idea de la forma en que se debe elegir δ y para eso se estudia la desigualdad en que interviene ε. Tenemos: |(3x + 1) − 7| < ε 2 (10.1) |3x − 6| < ε 3 (10.2) |3(x − 2)| < ε 4 (10.3) 3|x − 2| < ε 5 (10.4) |x − 2| < ε 3 6 (10.5) La última de estas desigualdades da una idea: si tomamos δ = ε 3 , entonces si 0 < |x − 2| < δ entonces la desigualdad (6) anterior sería satisfecha y como todas las desigualdades (5), (4), (3) y (2) son equivalentes entonces la primera (1) también se satisface. De esta manera hemos probado lo que se pide. △
105 Elementos de cálculo, volumen 2 Ejemplo 42. Usamos la definición para demostrar que un límite no existe Sea f(x) = |x| . Demostrar que lim f(x) no existe. x x→0 Solución: Si x > 0 entonces f(x) = |x| x x = = 1. x Es decir, a la derecha del eje y la gráfica coincide con la recta y = 1. Para x < 0 tenemos que |x| x = −x x = −1 y entonces a la izquierda del eje y la función coincide con la recta y = −1. Supongamos que sí existe L tal que Lo anterior diría entonces que lim f(x) = L. x→0 −1 ≤ L ≤ 1. Pero para cualquiera que sea L con esa condición y si ε > 0, al considerar cualquier intervalo ] − δ, δ[ (conteniendo a 0), existen elementos en este intervalo cuyas imágenes están fuera del intervalo ]L − ε, L + ε[ (vea la figura 10.2). Esto dice que el límite indicado no existe. △ No siempre es tan sencillo demostrar un límite a partir de la definición. En algunos casos se requieren verdaderos “malabares” para obtener lo que se desea. Pero no es nuestro objetivo profundizar más en esto. Por otra parte, la importancia de la definición no reside en que podamos o no demostrar límites particulares; de todas maneras el límite hay que encontrarlo por otros métodos. Su importancia está en que a través de ella podemos demostrar propiedades generales de los límites y luego se pueden usar esas propiedades (como ya lo hicimos en los capítulos pasados) para encontrar límites particulares con la certeza de que son válidos. En el Capítulo 2 dimos un par de teoremas sobre límites (lea la parte correspondiente). Estos teoremas son demostrados precisamente utilizando la definición. El Teorema 2.1 es una lista de propiedades de los límites (en realidad cada propiedad puede considerarse como un teorema por separado). Como ilustración demostraremos aquí una de esas propiedades. y = L + ε y = L − ε −δ Figura 10.2. y ✻ 1 ❝ δ ❝ −1 ✲ x
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CONTENIDO VOLUMEN II CAPÍTULO 6: L
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CAPÍTULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA
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CAPÍTULO 4: LÍMITES INFINITOS Y A
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2 Elementos de cálculo, volumen 2
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CAPÍTULO 7 LAS FUNCIONES LOGARÍTM
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Page 131 and 132: INDICE Conceptos y resultados 6 Án
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