Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

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108 Elementos de cálculo, volumen 2 Ejemplo 43. Demostrando un límite infinito 1 Demostrar que lim = +∞ x→0 x2 Solución: Aquí tenemos que c = 0; tomemos un M cualquiera positivo. Debemos encontrar δ > 0 tal que si |x| < δ entonces f(x) > M. Pero f(x) > M significa que 1 > M, entonces x2 1 > Mx 2 =⇒ 1 M > x2 =⇒ x 2 < 1 M 1 M =⇒ |x| < 1 M Lo anterior significa que si tomamos δ = se tiene el resultado deseado. △ Definición 10.4. Límite al infinito y ✻ Figura 10.3. f(x) = 1 x 2 Sea f definida en un intervalo de la forma ]a, +∞[, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ es igual a L si para todo ε > 0 existe M tal que Se denota por: si x > M entonces |f(x) − L| < ε. lim f(x) = L x→+∞ Ejemplo 44. Demostración de un límite al infinito Demostrar que si k es un número entero positivo entonces 1 lim = 0 x→+∞ xk Solución: Sea ε > 0 un número fijo. La expresión |f(x) − L| < ε significa en este caso que 1 − 0 xk < ε; esto es: 1 xk 1 < ε =⇒ ε < xk =⇒ x k > 1 k 1 =⇒ x > ε ε Lo anterior significa que si tomamos M = k 1 ε se tiene el resultado deseado. △ ✲ x
109 Elementos de cálculo, volumen 2 ⋆ Actividad: Escriba definiciones formales para los siguientes límites: lim f(x) = L, lim f(x) = −∞, lim x→c− − x→c x→−∞ f(x) = L 10.2 EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD En el Capítulo 3 se dio la definición de continuidad en un punto. Recordemos: Definición 10.5. Continuidad Se da la definición de derivada y dos propiedades de las funciones continuas: la existencia de extremos de la función en un intervalo cerrado y el teorema de los valores intermedios. Una función f es continua en x = c está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además Ejemplo 45. Continuidad en un punto lim f(x) = f(c). x→c Demostramos en el ejemplo 1 que si f(x) = 3x + 1 entonces lim(3x + 1) = 7 x→2 y además f(2) = 3(2) + 1 = 7. Concluimos que esta función es continua en x = 2. △ Las propiedades de continuidad que se dieron en el Teorema 3.3 del Capítulo 3 provienen directamente de la propiedades correspondientes de los límites. Proporcionaremos aquí dos teoremas referidos a funciones continuas. Teorema 10.2. Existencia de máximos y mínimos −5 3 −8 Figura 10.4. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f tiene un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo; esto es, existen valores c y d ambos en [a, b] tales que f(c) ≤ f(x) y f(d) ≥ f(x) para todo x en [a, b]. Este teorema es conocido con el nombre de Teorema de Weierstrass. Lo usamos en el ejemplo 8 del Capítulo 8, para asegurarnos la existencia de un máximo y un mínimo de la función. y ✻ 40 27 1 ✲ x
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CONTENIDO VOLUMEN II CAPÍTULO 6: L
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CAPÍTULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA
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CAPÍTULO 4: LÍMITES INFINITOS Y A
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2 Elementos de cálculo, volumen 2
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CAPÍTULO 7 LAS FUNCIONES LOGARÍTM
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