Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

28 Elementos de cálculo, volumen 2
Solución: Utilizamos las propiedades anteriores de la siguiente manera:
√
3x − 1(x2 + 3)
loga (x − 2)(2x + 1) =
√
2
= loga 3x − 1(x + 3) − loga(x − 2)(2x + 1) (logaritmo del cociente)
√
= loga 3x − 1 + loga(x 2 + 3) − [loga(x − 2) + loga(2x + 1)]
(logaritmo del producto aplicado dos veces)
= 1
2 loga(3x − 1) + loga(x 2 + 3) − loga(x − 2) − loga(2x + 1)
(logaritmo de la raíz)
Logaritmos naturales
La propiedad del cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden
ponerse en términos de uno solo. Los más usuales son los logaritmos
comunes que son los de base 10 y se denotan por log “a secas” y los
logaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales o neperianos
y se denotan por ln. Es decir,
log x es lo mismo que log 10 x y
ln x es lo mismo que log e x.
De hecho usted puede ver que las calculadoras solamente traen estos dos
tipos de logaritmos.
Gran cantidad de las aplicaciones del Cálculo tiene que ver con los
logaritmos naturales. Por eso más adelante haremos énfasis en este tipo
de logaritmos; incluso definiremos el número e en términos de un límite
especial.
Gráfica de la función logaritmo
Los logaritmos en una base dada se pueden ver como una función cuyo
dominio es la parte positiva de R, es decir ]0, +∞[ y que consiste en
asignar a cada número real positivo su correspondiente logaritmo.
Tomemos por ejemplo
f(x) = log 2 x.
La siguiente tabla nos da algunas imágenes y, con base en ella, podemos
bosquejar la gráfica de esta función (figura 7.1).
Tabla de valores de f(x) = log 2 x
△
2
1
−1
y
✻
1
2
y = log 2 x
♣
♣
♣
♣
✲ x
1 2 4
Figura 7.1. f(x) = log 2 x