Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

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15 Elementos de cálculo, volumen 2 Una demostración intuitiva La figura 6.20 representa el círculo trigonométrico (centro (0, 0) y radio 1). Consideremos primero que 0 < x < π 2 . • El segmento MP tiene medida sen x (por definición), • el segmento AQ tiene medida tan x, ya que según el dibujo pues OA mide 1. tan x = AQ OA = AQ, • y el arco AP tiene medida x (pues la medida del arco es igual al radio por el ángulo, esto es 1 · x = x). La intuición nos dice que sen x < x < tan x (lo cual es cierto). Para 0 < x < π se tiene que sen x es positivo 2 por lo tanto si en la desigualdad anterior dividimos por sen x, se tiene que sen x x tan x < < sen x sen x sen x , pero, recuerde que tan x = y por lo tanto tan x sen x = y entonces tenemos: sen x cos x sen x cos x sen x = 1 < x sen x sen x sen x cos x < 1 cos x = 1 cos x o, de modo equivalente (invirtiendo las fracciones, se invierten las desigualdades): sen x 1 > > cos x. x También se puede llegar exactamente a la misma desigualdad si consideramos − π < x < 0 (hágalo usted). 2 Ahora, como lim 1 = 1 y lim cos x = cos 0 = 1, tenemos x→0 x→0 1 ↓ > sen x x > cos x ↓ 1 1 y, entonces, el teorema de intercalación nos dice que también sen x lim x→0 x = 1 O Figura 6.20. Q ✻ ♣ P (x, y) ◆ tan x sen x ②x ✲ cos x x M A
16 Elementos de cálculo, volumen 2 Ejemplo 3. Otro límite especial Utilizar el límite anterior para demostrar que Solución: En efecto, tenemos cos x − 1 lim x→0 x cos x − 1 lim x→0 x = 0 (cos x − 1)(cos x + 1) = lim x→0 x(cos x + 1) cos = lim x→0 2 x − 1 x(cos x + 1) − sen = lim x→0 2 x x(cos x + 1) sen x = − lim x→0 x · sen x cos x + 1 sen 0 = −1 · cos 0 + 1 = −1 · 0 = 0 Ejemplo 4. Cálculo de límites trigonométricos: sen ax el caso ax Calcular los siguientes límites: sen 4x cos x + 3x − 1 (a) lim (b) lim x→0 3x x→0 5x Solución: (a) Procedemos del siguiente modo: sen 4x 4 sen 4x 4 sen 4x 4 lim = lim = lim · = x→0 3x x→0 3(4x) x→0 3 4x 3 lim sen 4x x→0 4x Por la definición de límite se tiene que x → 0 se puede sustituir por 4x → 0. Por lo tanto y, en definitiva, sen 4x lim x→0 4x sen 4x lim x→0 3x sen(4x) = lim (4x)→0 (4x) 4 4 = · 1 = 3 3 . = 1 △
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