Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

42 Elementos de cálculo, volumen 2
Ejemplo 19. Cálculo de la recta tangente
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por
f(x) = ln(2x − 1) en el punto (1, 0).
Solución: La pendiente m de la recta tangente es la derivada de la
función evaluada en x = 1. Calculamos f ′ (x) utilizando la regla de la
cadena:
f ′ (x) =
1
2x − 1 · (2x − 1)′ =
2
2x − 1 ,
por lo tanto m = f ′ (1) = 2
2·1−1 = 2. Ahora calculamos b:
b = 0 − 2 · 1 = −2.
Concluimos que la recta tangente tiene ecuación:
y = 2x − 2
Ejemplo 20. Funciones hiperbólicas
Existe otra familia de funciones muy interesantes que aparecen en las
aplicaciones del Cálculo; éstas se llaman funciones hiperbólicas y,
en cuanto a sus propiedades, guardan muchas analogías con las funciones
trigonométricas, aunque la forma en que están definidas difiere
sustancialmente. La dos funciones hiperbólicas básicas son el seno
hiperbólico y el coseno hiperbólico que se definen respectivamente
como
senh x = ex − e −x
y cosh x = ex + e −x
2
2
para todo número real x.
Calculemos la derivada de cada una de estas funciones:
(senh x) ′
ex − e−x ′
=
=
2
(ex ) ′ − (e−x ) ′
=
2
ex − e−x (−1)
2
△
= ex + e −x
2
Pero esta última expresión no es ni más ni menos que cosh x. Es decir,
(senh x) ′ = cosh x
Figura 7.9. Algunas
funciones
hiperbólicas