Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

39 Elementos de cálculo, volumen 2
• Calcular la derivada de las siguientes funciones
(a) g(x) = 3 x2 −2 tan x (b) h(t) = log 3(sen t + 2t)
(c) y = 23x+1 + 1
x − 2
Solución: (a) g ′ (x) =
(b) h ′ (t) = [log 3(sen t + 2t)] ′ =
(c) y ′
23x+1 + 1
=
x − 2
(d) f(t) = e 2t + log 2(5t − 1)
3x2 ′
−2 tan x = 3x2−2 tan x (x2 − 2 tan x) ′ ln 3
= 3 x2 −2 tan x (2x − 2 sec 2 x) ln 3
′
2 3x+1 ln 2 · 3(x − 2) − (2 3x+1 + 1)
(x − 2) 2
(sen t + 2t)′
(sen t + 2t) ln 3 =
cos t + 2
(sen t + 2t) ln 3
= (23x+1 + 1) ′ (x − 2) − (2 3x+1 + 1)(x − 2) ′
(x − 2) 2
= 23x+1 (3x ln 2 − 7) − 1
(x − 2) 2
(d) f ′ (t) = [ e 2t + log 2(5t − 1)] ′ = [e2t + log 2(5t − 1)] ′
2 e 2t + log 2(5t − 1) =
• Calcular la derivada de
= 2e2t + 5
(5t−1) ln 2
2 e 2t + log 2(5t − 1)
f(x) = ln
√ 2x + 1 3 √ 3x + 2
(x 2 + 1) 5
Solución: Arreglar la función, utilizando las propiedades de logaritmos,
es lo más conveniente en este caso:
√ 3
2x + 1
f(x) = ln
√ 3x + 2
(x2 + 1) 5 = 1
2 ln(2x+1)+1
3 ln(3x+2)−5 ln(x2 +1)
de manera que
f ′ (x) =
=
=
=
1
1
ln(2x + 1) +
2 3 ln(3x + 2) − 5 ln(x2 ′
+ 1)
1 (2x + 1)
2
′ 1 (3x + 2)
+
2x + 1 3
′
3x + 2 − 5(x2 + 1) ′
x2 + 1
1 2 1 3
+
2 2x + 1 3 3x + 2
1 1
+
2x + 1 3x + 2
− 5 2x
x 2 + 1
− 10x
x 2 + 1
. △
=