Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

69 Elementos de cálculo, volumen 2
Solución: Tenemos que
y
lim ln x = ∞
x→∞
lim
x→∞ x2 = ∞
por lo que estamos ante un límite de la forma ∞
∞ . Entonces, según la
regla de L’Hípital tenemos
lim
x→∞
ln x
= lim
x2 x→∞
(ln x) ′
(x2 = lim
) ′ x→∞
1
x = lim
2x x→∞
1
= 0.
2x2 Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el
límite es de la forma 0 ∞
0 o ∞ puesto que de lo contrario aplicar la regla
de L’Hípital puede inducir a errores.
Ejemplo 32. Un caso en que la regla de L’Hípital no es aplicable
x
Suponga que tenemos lim
x→2
2 + 2x
3x + 1 .
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación:
x
lim
x→2
2 + 2x
3x + 1 = 22 + 2 · 2 8
=
3 · 2 + 1 7
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la
regla de L’Hípital. ¿Qué sucedería si no nos damos cuenta de ello o
aún dándonos cuenta insistimos en aplicarla?. En ese caso haríamos lo
siguiente:
x
lim
x→2
2 + 2x
= lim
3x + 1 x→2
(x2 + 2x) ′ 2x + 2
= lim
(3x + 1) ′ x→2 3
Y ésto es un error puesto que el límite es 8
7
6
= = 2.
3
△
y no 2. △