Vol2 Derivadas, aplicaciones y temas especiales - CIMM

103 Elementos de cálculo, volumen 2
ceptos (la mayoría de las veces intuitivamente), y sus aplicaciones, y
alguna que otra prueba bastante informal. Creemos que esto es lo más
adecuado para un curso introductorio de Cálculo. En lo que sigue de Un énfasis conceptual
este capítulo vamos, sin embargo, a usar un tratamiento más formal y a
realizar algunas demostraciones. Esto con el objetivo de familiarizar al
lector con el lenguaje, procedimientos y criterios (algunos), que se usan
en la comunidad matemática para expresar y aceptar sus resultados intelectuales.
10.1 EL CONCEPTO DE LÍMITE
En esta sección daremos la definición formal de límite, tal como
modernamente se acepta, y la utilizaremos para demostrar algunos de
los resultados sobre límites que se dieron en el Capítulo 2.
Definición 10.1. Definición de límite
Se proporciona en esta
sección el concepto formal
de límite y de límite al
infinito y límite infinito.
Se utilizan para demostrar
algunos límites específicos
y para probar algunas
propiedades de los límites
Sea f una función que está definida en todo elemento de un intervalo abierto que contiene a c, excepto
tal vez en c. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si para todo ε > 0 existe un
δ > 0 tal que:
si 0 < |x − c| < δ, entonces |f(x) − L| < ε.
Se denota por:
lim f(x) = L.
x→c
Lo anterior significa que no importa cuán pequeño sea el intervalo
alrededor de L, siempre podemos conseguir un intervalo alrededor de
c de manera que todas las imágenes de los elementos en este intervalo
quedan “atrapadas” en el intervalo alrededor de L. De esta manera se
traduce el concepto de “cercanía” que se indicó en la definición informal
que dimos en el Capítulo 2 (vea la figura 10.1).
L + ε
L
L − ε
✻ y
Figura 10.1.
❝
c − δ c c + δ
y = f(x)
✲
x