Eine Methode zur formalen Modellierung von ...

2.3 Stromverarbeitende Funktionen 15
Ubergang von einer Entwicklungsstufe zur nachsten bewaltigt werden vergleiche hierzu
Abschnitt 2.5. Die Modellierung von Schnittstellenveranderungen wahrend eines Systemablaufs
ist im erweiterten sematischen Modell moglich, siehe Abschnitt 2.6.
Fur eine Komponente K mit n Eingabe- und m Ausgabekanalen und hierfur festgelegten
Nachrichtentypen InMsg 1 : : : InMsg n fur die Eingabe- bzw. OutMsg 1 : : : OutMsg m fur
die Ausgabekanale wird ein mogliches Verhalten durch eine Funktion f K vom Typ
f K 2 InMsg ! 1
InMsg ! n
! OutMsg ! 1
OutMsg ! m
(2.1)
festgelegt, die n-Tupel von Stromen auf m-Tupel von Stromen abbildet. Um die Zuordnung
von Kanalen zu ihren Stromen zu verdeutlichen, werden sogenannte benannte stromverarbeitende
Funktionen verwendet. Damit wird fur die Mengen IN = fIn 1 : : : In n g von
Bezeichnern der Eingabekanale und OUT = fOut 1 : : : Out m g von Bezeichnern der Ausgabekanale
das Verhalten einer Komponente festgelegt durch
f K 2 (IN 7!
nY
InMsg ! i
) ;! (OUT 7!
i=1
mY
OutMsg ! j
) (2.2)
Das kartesische Produkt Q ordnet jedem Kanalbezeichner eine vollstandige Kommunikationsgeschichte
uber der Menge zu, die die fur den Kanal denierten Nachrichten enthalt.
Fur alle Spezikationen setzen wir voraus, da sich die Umgebung einer Komponente K
bzgl. der Eingaben typkorrekt verhalt. K erhalt nur solche Nachrichten, die fur den Kanal
deniert sind. Zur Spezikation statischer Systemstrukturen konnen die stromverarbeitenden
Funktionen gema (2.1) und die benannten stromverarbeitenden Funktionen gema
(2.2) gleichermaen verwendet werden.
Fur stromverarbeitende Funktionen werden folgende semantische Eigenschaften gefordert:
Die Funktionen sind monoton 6 bzgl. der Praxordnung v. Dies beschreibt die Kausalitat
zwischen den Ein- und Ausgaben. Jedes Prax enthalt samtliche Information, die aus dem
bisherigen Verhalten entnommen werden kann und uber das weitere Verhalten entscheidet
bereits ausgegebene Nachrichten konnen nicht mehr zuruckgenommen werden. Monotone
Funktionen besitzen einen eindeutigen kleinsten Fixpunkt. Damit ist sichergestellt, da
eine Komponente eine Berechnung, die zu einem eindeutigen Ergebnis fuhrt, vollstandig
ausfuhrt. Die Funktionen sind stetig 7 , wodurch der kleinste Fixpunkt eines vollstandigen
(unendlichen) Systemablaufs aus seinen endlichen Approximationen konstruktiv berechnet
werden kann. Wird eine Spezikation mittels rekursiver Funktionsgleichungen und unter
Verwendung der im Abschnitt 2.2 angegebenen Operationen in dem von uns geforderten
operationalen Stil mittels der Schemata erstellt, ist sichergestellt, da die Formalisierung
stetige Funktionen liefert.
6 f : In ! 7! Out ! ist monoton, wenn fur s t 2 In ! gilt: svt ) f(s)vf(t).
7 Eine monotone Funktion f : In ! 7! Out ! ist stetig, wenn gilt: t i ff(s i )j(s i ji 2 IN) Kette aus In ! g =
f(t i s i ). t i s i steht fur die kleinste obere Schranke.
j=1