Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

96 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
Bemerkung zum Sinn dieser Definition
1) Man will P ({ω|X(ω) ∈ B}) = P ({X ∈ B}) = P (X −1 (B)) wohldefiniert haben für
alle B ∈ B.
2) Damit X Zufallsvariable ist genügt es für alle α ∈ R zu fordern: {X ≤ α} =
X −1 ((−∞, α]) ∈ A.
11.2.4 Definition (Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable)
Sei X eine Zufallsvariable. Die Verteilung von X ist definiert durch Q(B) := P (X −1 (B))
für alle B ∈ B. Damit ist Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B).
Bemerkung: Zur Dichte f existiert stets eine Zufallsvariable X so, dass die Verteilung
von X die Dichte f hat. Wähle X(z) = z für z ∈ R.
11.3 Erwartungswert und Varianz
11.3.1 Definition (Erwartungswert)
Sei X Zufallsvariable und sei f Wahrscheinlichkeits-Dichte und g : R → R messbar (d.h.
g −1 (B) ∈ B für B ∈ B). Dann heißt
∫
Eg(X) := g(x)f(x)dx
der Erwartungswert von g(X).
Bemerkung: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X mit Dichte f ist
R
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx und E(X p ) =
∫ ∞
−∞
x p f(x)dx
ist das p-te Moment. Diese Erwartungswerte existieren genau dann, wenn die uneigentlichen
Integrale existieren. Existiert E(X 2 ), so gilt:
Var(X) =
∫ ∞
(x − E(X)) 2 f(x)dx = E((X − E(X)) 2 ) = E(X 2 ) − (EX) 2 .
−∞
Im Übrigen gelten die gleichen Gesetze wie im diskreten Fall.
11.3.2 Beispiele
Ist X normalverteilt nach N(µ, σ 2 ), d.h. F X (α) = P (X ≤ α) =
so gilt E(X) = µ und Var(X) = σ 2 , denn
α∫
−∞
√ 1
/2σ 2
2πσ
dx,
2 e−(x−µ)2