Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

106 12 SCHLIEßENDE STATISTIK
12.2 Punktschätzer
Gegeben sei ein statistisches Modell (Ω, A, P θ , θ ∈ Θ). Dabei ist Ω die Beobachtungsmenge,
A die σ-Algebra über Ω und {P θ ; θ ∈ Θ} eine durch Θ ⊂ R k indizierte Schar von
Wahrscheinlichkeitsmaßen.
12.2.1 Definition (Schätzer)
Ein Vektor T = (T 1 , . . . , T k ), bestehend aus Zufallsvariablen, heißt Schätzer, falls T (Ω) ⊂
Θ gilt.
12.2.2 Definition (Maximum-Likelihood-Schätzer)
Sei {f θ (ω)|θ ∈ Θ} eine durch θ indizierte Schar von Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder
Wahrscheinlichkeitsdichten auf Ω. Dann heißt ˆθ(ω) := arg max f θ(ω) Maximum-Likelihoodθ∈Θ
Schätzer von θ. Es gilt fˆθ(ω)
(ω) = max f θ (ω).
θ
Somit stellt sich die Aufgabe: Maximiere für das beobachtete ω die Funktion θ ↦→ f θ (ω).
12.2.3 Beispiele:
1) Binomialverteilung:
f θ (k) = ( n
k)
θ k (1 − θ) n−k , 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ θ ≤ 1.
Hier ist der Maximum-Likelihood-Schätzer: ˆθ(k) = k n . Denn:
∂
∂θ f θ(k) = ! 0
( n
⇔ [kθ
k)
k−1 (1 − θ) n−k − (n − k)(1 − θ) n−k−1 θ k !
] = 0
( n
⇒ θ
k)
k−1 (1 − θ) n−k−1 (k(1 − θ) − (n − k)θ) = 0
⇒ k − kθ − nθ + kθ = 0
⇒ k = nθ
⇒ θ = k n
⇒ ˆθ = k n .
2) Poisson-Verteilung
f θ (k) = θk
k! e−θ , θ ∈ (0,∞), k ∈ N ∪ {0}.
Hier ist ˆθ = k, da
0 = ! ∂ ∂θ f θ(k) = kθk−1
e −θ − θk
k! k! e−θ
⇒ 0 ! = k − θ ⇒ ˆθ = k.