Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

5.4 Unabhängigkeit von Ereignissen 35
Abbildung 4: Urnenbelegung
2. Ziehung: „weiß“
P (3|S, W ) =
P (S, W |3)P (3)
=
4∑
P (S, W |i)P (i)
i=1
2 · 1 · 1
3 2 4
1
(0 + 1 + 1 + 0) = 1 2 ,
4 3 3
P (2|S, W ) = 1 , P (1|S, W ) = P (4|S, W ) = 0.
2
Probe: Wenn unsere Rechnung richtig ist, und bei einer dritten Ziehung wieder eine weiße
Kugel gezogen wird, so muß die Wahrscheinlichkeit, daß Urne 2 vorlag, 1 sein und die
Wahrscheinlichkeit, daß eine andere Urne vorlag 0.
3. Ziehung: „weiß“
P (2|S, W, W ) =
P (S, W, W |2)P (2)
=
4∑
P (S, W, W |i)P (i)
i=1
1
4 (0 + 1 3
1 · 1
3 4
+ 0 + 0)
= 1.
Für jede andere Urne steht im Zähler eine Null und der Nenner ist verschieden von Null.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für alle anderen Urnen 0.
5.4 Unabhängigkeit von Ereignissen
Beim Münzenwurfproblem sind wir schon davon ausgegangen, daß die Wahrscheinlichkeit
für die Ergebnisse verschiedener Würfe miteinander multipliziert werden können. Hier nun
der formale Hintergrund.
5.4.1 Definition
Zwei Ereignisse A, B ⊂ Ω heißen (stochastisch) unabhängig, falls
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
gilt.
Sind A und B unabhängig und gilt P (B) > 0, so ist
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
=
P (A)P (B)
P (B)
= P (A).