Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

8.1 Der Satz von de Moivre-Laplace 63
8.1.2 Korollar
Seien X 1 , . . . , X n unabhängige Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = p = 1 − P (X i = 0) für
i = 1, . . . , n. Dann gilt für alle ε > 0: lim P (| Sn − p| > ε) = 0.
n→∞ n
8.1.3 Beispiel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 6000 Würfen mit einem Würfel die “6”.
a) mehr als 1100 auftritt?
b) höchstens 950 mal oder mindestens 1050 mal auftritt?
Lösung:
a) P (1100 < S 6000 < ∞) = P ( (
100
)
< S 6000 − 6000 · 1 < ∞) 6
100
= P
< S6000 ∗ < ∞ = P (√ 12 < S6000 ∗ < ∞ )
√
6000· 1
6 · 5
6
Satz 8.1.1
{}}{
∼ = Φ (∞) − Φ
(√
12
)
= 1 − Φ
(√
12
)
= 0, 00028.
b) P (S 6000 ≤(
950 oder S 6000 ≥ 1050) = 1)
− P (950 < S 6000 < 1050)
−50
= 1 − P < S6000 ∗ 50
< = 1 − P ( − √ 3 < S6000 ∗ < √ 3 )
√
6000
1 5
6 6
√
6000
1 5
6 6
Satz 8.1.1
{}}{
∼ = 1 −
[
Φ
(√
3
)
− Φ
(
−
√
3
)]
= 0, 0832
8.1.4 Vergleich der normierten Binomialverteilung mit Φ
Näherungsweise gilt:
P (S n ≤ b ′ ) = P (S ∗ n ≤
b′ − np
b ′ − np
√ ) ≈ Φ( √ )
np(1 − p) np(1 − p)
wobei S ∗ n =
√ Sn−np .
np(1−p)
Wie gut ist diese Näherung für verschiedene n?
Für große n ist die Näherung gut, vor allem dann, wenn b ′ in der Nähe von np liegt.
Man erhält aber noch bessere Werte, wenn man eine so genannte Stetigkeitskorrektur
vornimmt, indem man b ′ durch b ′ + 1 ersetzt. Das macht sich besonders für kleine n
2
deutlich bemerkbar.
Numerisch:
p = 0, 4 b ′ = np · 0, 8