Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

4.5 Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung 23
4.4.2 Ziehen ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge
Sei (a 1 , . . . , a n ), 1 ≤ a i ≤ N für i = 1, . . . , n und a i ≠ a j für i ≠ j eine Folge der Länge n.
Dann gilt: P ({(a 1 , . . . , a n )}) = 1
[N] n
.
Sei (ε 1 , . . . , ε n ) eine 0-1-Folge der Länge n. Dann gilt:
P ({(a 1 , . . . , a n )|a i ≠ a j für i ≠ j und ϕ(a i ) = ε i für i = 1, . . . , n, }) = [W ] r[S] n−r
[N] n
.
Die Wahrscheinlichkeit “r (0 ≤ r ≤ n) weiße Kugeln zu ziehen” ist nun:
p(“r weiße”) = P ({(a 1 , . . . , a n ) | a i ≠ a j für i ≠ j und
n∑
ϕ(a i ) = r})
i=1
( ) n [W ]r [S] n−r
=
r [N] n
= [W ] r/r! [S] n−r /(n − r)!
[N] n /n!
( ) ( )
W S
r
=
n − r
( ) , 0 ≤ r ≤ n
N
n
Wir nennen diese Wahrscheinlichkeit p(r).
Es gilt n ∑
r=0
( W
r
)( S
n−r
n
r=0
) (
=
W +S
) n∑ ⇔ p(r) = 1. Damit ist p eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
auf {0, . . . , n}. Das dazugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß heißt die hypergeometrische
Verteilung h(n; W, S).
4.5 Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung
Wir gehen wieder von einer Urne mit N Kugeln aus. Davon seien W Kugeln weiß und S
Kugeln schwarz, W + S = N. Wir ziehen n-mal ohne Beachtung der Reihenfolge.
Grundlegende Tatsache: Ist N groß im Verhältnis zu n, so unterscheiden sich „Ziehen
mit Zurücklegen“ (Binomialverteilung) und „Ziehen ohne Zurücklegen“ (hypergeometrische
Verteilung) nur wenig.
Beispiel: „Wahlumfrage“:
Anzahl der Wahlberechtigten N = 5 · 10 7 , Anzahl der Befragten n = 1200.
Die genaue Formulierung dieser Tatsache lautet:
Für N → ∞ erhöhe sich die Anzahl der weißen und der schwarzen Kugeln in der Urne.
Das heißt: Die Anzahl W der weißen Kugeln und die Anzahl S der schwarzen Kugeln
sollen beide von N abhängen. Um das zu verdeutlichen schreiben wir W N statt W und
S N statt S. Natürlich gilt für alle N: W N + S N = N.