Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

110 12 SCHLIEßENDE STATISTIK
12.4.1 Beispiel: Fischteichgröße
Aus einem Fischteich werden 50 Fische gefangen, markiert und wieder ausgesetzt. Bei
einem erneuten Fang von 50 Fischen ist kein markierter Fisch dabei. Was läßt sich über
die Größe des Fischteichs N sagen?
Rein logisch, daß mindestens 100 Fische im Teich sind. Aber hätte man nur einen markierten
Fisch gefangen, so wäre der Maximum Likelihood-Schätzer (berechnet im Hypergeometrischen
Modell) ˆN = 2500. Folglich ist N wohl viel größer.
Sei p N = P N ( kein markierter Fisch im Fang ),
)
dann ist p N =
( N−50
50
( N
50) im Hypergeometrischen Modell.
Sei α > 0 vorgegeben und N(α) so gewählt, daß p N(α) ≤ α aber p N(α)+1 > α ist. Dann
gilt auch max p N ≤ α. Nun kann man, falls kein markierter Fisch im Fang ist, mit einer
N≤N(α)
Irrtumswahrscheinlichkeit α folgern, daß N ≥ N(α) ist.
Die folgende Tabelle liefert α in Abhängigkeit von N, einmal exakt und einmal als Binomialapproximation
p N ≈ ( )
N−50 50.
N Für große N ist die Approximation erstaunlich gut.
N α α Bin
300 4, 33 · 10 −5 1, 09 · 10 −4
600 0,0106 0,0128
1200 0,1137 0,1191
2500 0,3605 0,3642
5000 0,6035 0,6050
12.4.2 Definition (Konfidenzintervall)
Sei Ω ⊂ R n und P θ eine Schar von Ws-Maßen, θ ∈ Θ ⊂ R. Sei R die Menge der abgeschlossenen
Intervalle auf R. I : Ω → R heißt Konfidenzintervall (K.I.) mit Sicherheitswahrscheinlichkeit
1−α mit 0 < α < 1, wenn für alle θ ∈ Θ gilt: P θ ({ω|θ ∈ I(ω)}) ≥ 1−α.
Bemerkungen:
1) I(ω) = Θ ist Konfidenzintervall mit Sicherheitswahrscheinlichkeit (SWS) 1.
2) Ein Konfidenzintervall sollte aber möglichst klein sein.
12.4.3 Beispiele zu Konfidenzintervallen bei Normalverteilung
Seien X 1 , ..., X n unabhängig und alle nach N(µ, σ 2 )-verteilt.
a) σ 2 sei bekannt, µ sei unbekannt. Sei k α so, dass Φ(k α ) = α ist. Es gilt −k α = k 1−α . Sei
x = (x 1 , ..., x n ). I n (x) = [ˆµ n (x) − k √1−α
n
σ, ˆµ n (x) + k √1−α
n
σ] ist zweiseitiges Konfidenzintervall
zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 − 2α. Denn:
P µ,σ 2
({
x∣ µ ∈
[
ˆµ n (x) ± k ]}) ({
1−α
√ σ = P µ,σ 2
n
√ })
x∣
n(ˆµn (x) − µ)
∣ σ ∣ ≤ k 1−α