Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

78 9 ERZEUGENDE FUNKTIONEN
Aufgabe: Leite unter den Annahmen 1)-3) die erzeugende Funktion für die Anzahl der
„Treffer“ her.
Zerlege E in n × n kleine Quadrate Q i,n , (i ∈ {1, . . . n 2 }) und nummeriere diese durch.
K n bzw. G n seien die Indexmengen der
⋃
einbeschriebenen bzw. der einbeschreibenden
Quadrate der Menge A. Es gilt dann: Q i,n ⊂ A ⊂ ⋃ Q i,n .
i∈K n i∈G n
Definiere: ˜XKn := X S Q i,n
und ˜X Gn := X S Q i,n
.
Kn
Gn
Dann gilt für alle n ˜X Kn ≤ X A ≤ ˜X Gn und damit folgt: lim ↑ ˜X Kn = X A = lim ↓ ˜X Gn .
n→∞ n→∞
Für die erzeugenden Funktionen folgt:
f ˜XKn
(z)
(1)
{}}{
= ∏
(3)
{}}{
= ∏
i∈K n
f XQi,n (z)
i∈K n
(1 − λF (Q i,n ) + λF (Q i,n )z + o(F (Q i,n )))
(2)
{}}{
= (1 − λ n 2 + λ n 2 z + o( 1 n 2 ))F (A)n2 (1+o(1)) für n → ∞
→ e λF (A)(z−1) für n → ∞.
Ebenso gilt: f ˜XGn
(z) → e λF (A)(z−1) und damit folgt: f XA (z) = e λF (A)(z−1) d.h. X A ist
Poisson-verteilt mit Parameter λF (A).
Bemerkung :
1) Diese Konstruktion funktioniert auch für [0, 1] k .
2) Satz 9.3.1 und das Korollar gelten entsprechend.